学习笔记18--汽车模型之汽车动力学

本系列博客包括6个专栏，分别为：《自动驾驶技术概览》、《自动驾驶汽车平台技术基础》、《自动驾驶汽车定位技术》、《自动驾驶汽车环境感知》、《自动驾驶汽车决策与控制》、《自动驾驶系统设计及应用》。
此专栏是关于《自动驾驶汽车决策与控制》书籍的笔记.

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2.汽车模型

2.1 汽车动力学

两个自由度分别用汽车侧向位置$y$和汽车方向角$\psi$表示；汽车侧向位置可沿汽车横向轴$y$到汽车旋转中心点$O$测量得到；汽车方向角$\psi$可由汽车纵向轴$x$与系统$X$轴的夹角测得；汽车在质心处的纵向速度用$V_x$表示；

忽略路面坡度，沿$y$轴应用牛二定律可得：
$$m{a}_y=F_{y_f}+F_{y_r}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中：$a_y={\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)}_{inertial}$为在$y$轴方向汽车质心处的惯性加速度，$F_{y_f}、F_{y_r}$分别表示前、后轮的轮胎侧向力；

两个因素影响$a_y$：沿$y$轴的运动加速度$\ddot{y}$和向心加速度$V_x\dot{\psi }$；
$$a_y=\ddot{y}+V_x\dot{\psi }\text{\hspace{1em}(2)}$$
汽车侧向平移运动方程为：
$$m(\ddot{y}+V_x\dot{\psi })=F_{y_f}+F_{y_r}\text{\hspace{1em}(3)}$$
绕$z$轴的转矩平衡可得横摆动力学方程：
$$I_z\ddot{\psi }=l_f{F}_{y_f}+l_r{F}_{y_r}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中：$l_f、l_r$分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

建立作用于汽车上的轮胎模型，用来表示侧向力$F_{y_f}、F_{y_r}$；当侧偏角较小时，假设轮胎的侧向力与侧偏角成正比；轮胎的侧偏角定义为轮胎平面方向和轮胎速度方向之间的角度，如下图所示：

其中：前轮侧偏角：
$${\alpha }_f=\delta -{\theta }_{V_f}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中：${\theta }_{V_f}$为汽车速度矢量和汽车纵轴之间的夹角，$\delta$为前轮转向角；

后轮侧偏角近似表示为：
$${\alpha }_r=-{\theta }_{V_f}\text{\hspace{1em}(6)}$$
汽车前轮侧向力表示为：
$$F_{y_f}=2C_{a_f}(\delta -{\theta }_{V_f})\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中：$C_{a_f}$为比例系数，称为前轮的侧偏刚度；$\delta$为前轮转向角，${\theta }_{V_f}$为前轮速度角，系数2表示实际情况中有两个前轮；

后轮侧向力表示为：
$$F_{y_r}=2C_{a_r}(-{\theta }_{V_r})\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中：$C_{a_r}$为后轮的侧偏刚度，${\theta }_{V_r}$为后轮速度角；

计算${\theta }_{V_f}、{\theta }_{V_r}$：
$$\tan ({\theta }_{V_f})=\frac{V_y+l_f\dot{\psi }}{V_x}\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$\tan ({\theta }_{V_r})=\frac{V_y-l_r\dot{\psi }}{V_x}\text{\hspace{1em}(10)}$$

采用小角度近似$V_y=\dot{y}$，有：
$${\theta }_{V_f}=\frac{\dot{y}+l_f\dot{\psi }}{V_x}\text{\hspace{1em}(11)}$$

$${\theta }_{V_r}=\frac{\dot{y}-l_r\dot{\psi }}{V_x}\text{\hspace{1em}(12)}$$

状态方程模型：
d d t { y y ˙ ψ ψ ˙ } = [ 0 1 0 0 0 2 C a f + 2 C a r m V x 0 − V x − 2 C a f − 2 C a r l r m V x 0 0 0 1 0 − 2 l r C a f − 2 l r C a r I z V x 0 − 2 C a f + 2 l r 2 C a r I z V x ] + { 0 2 C a f m 0 2 l f C a f I z } (13) \frac{d}{dt} {y˙yψ˙ψ}

= [010002Caf+2CarmVx0−Vx−2Caf−2CarlrmVx00010−2lrCaf−2lrCarIzVx0−2Caf+2l2rCarIzVx]+ {02Cafm02lfCafIz}\tag{13} dtd​⎩ ⎨ ⎧​yy˙​ψψ˙​​⎭ ⎬ ⎫​=⎣ ⎡​0000​1mVx​2Caf​​+2Car​​​0−Iz​Vx​2lr​Caf​​−2lr​Car​​​​0000​0−Vx​−mVx​2Caf​​−2Car​​lr​​1−Iz​Vx​2Caf​​+2lr2​Car​​​​⎦ ⎤​+⎩ ⎨ ⎧​0m2Caf​​​0Iz​2lf​Caf​​​​⎭ ⎬ ⎫​(13)
考虑汽车在半径为常数$R$的车道上以恒定$V_x$行驶，假设半径$R$足够大，满足小角度假设，定义车身转过期望角度所需转角速度为：
$${\dot{\psi }}_{des}=\frac{V_x}{R}\text{\hspace{1em}(14)}$$
所需横向加速度为：
$$a_{y_{des}}=\frac{V_x^2}{R}=V_x{\dot{\psi }}_{des}\text{\hspace{1em}(15)}$$
横向加速度误差为：
$${\ddot{e}}_1=(\ddot{y}+V_x\dot{\psi })-\frac{V_x^2}{R}=\ddot{y}+V_x(\dot{\psi }-{\dot{\psi }}_{des})\text{\hspace{1em}(16)}$$
横向误差为：
$$e_2=\psi -{\psi }_{des}\text{\hspace{1em}(17)}$$
横向速度误差为：
$${\dot{e}}_1=\ddot{y}+V_x(\dot{\psi }-{\dot{\psi }}_{des})\text{\hspace{1em}(18)}$$
结合上述各式，可得：
$$\begin{gathered} m{\ddot{e}}_1={\dot{e}}_1\left[-\frac{2}{V_x}{C}_{a_f}-\frac{2}{V_x}{C}_{a_r}\right]+e_2[2C_{a_f}+2C_{a_r}]+{\dot{e}}_2\left[-\frac{2C_{a_f}{l}_f}{V_x}+\frac{2C_{a_r}{l}_r}{V_x}\right]+ \\ {\dot{\psi }}_{des}\left[-\frac{2C_{a_r}{l}_r}{V_x}+\frac{2C_{a_r}{l}_r}{V_x}\right]+2C_{a_f}\delta \text{\hspace{1em}(19)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} I_z{\ddot{e}}_2=2C_{a_f}{l}_f\delta +{\dot{e}}_1\left[-\frac{2C_{a_f}{l}_f}{V_x}+\frac{2C_{a_r}{l}_r}{V_x}\right]+e_2[2C_{a_f}{l}_f-2C_{a_f}{l}_r]+ \\ {\dot{e}}_2\left[-\frac{2C_{a_f}{l}_f^2}{V_x}+\frac{2C_{a_r}{l}_r^2}{V_x}\right]-I_z{\ddot{\psi }}_{des}+{\ddot{\psi }}_{des}\left[-\frac{2C_{a_f}{l}_f^2}{V_x}-\frac{2C_{a_r}{l}_r^2}{V_x}\right]\text{\hspace{1em}(20)} \end{gathered}$$

在跟踪误差变量的状态方程模型为：
d d t { e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 } = [ 0 1 0 0 0 2 C a f + 2 C a r m V x 0 − V x − 2 C a f − 2 C a r l r m V x 0 0 0 1 0 − 2 l r C a f − 2 l r C a r I z V x 0 − 2 C a f + 2 l r 2 C a r I z V x ] [ e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 ] + [ 0 2 C a f m 0 2 l f C a f I z ] δ + [ 0 − 2 C a f l f − 2 C a r l r m V x − V x 0 2 C a f l f 2 + 2 C a r l r 2 I z V x ] ψ ˙ d e s (21) \frac{d}{dt} {e1˙e1e2˙e2}

= [010002Caf+2CarmVx0−Vx−2Caf−2CarlrmVx00010−2lrCaf−2lrCarIzVx0−2Caf+2l2rCarIzVx] [e1˙e1e2˙e2] +\\ [02Cafm02lfCafIz]\delta+ [0−2Caflf−2CarlrmVx−Vx02Cafl2f+2Carl2rIzVx]\dot{\psi}_{des}\tag{21} dtd​⎩ ⎨ ⎧​e1​e˙1​e2​e˙2​​⎭ ⎬ ⎫​=⎣ ⎡​0000​1mVx​2Caf​​+2Car​​​0−Iz​Vx​2lr​Caf​​−2lr​Car​​​​0000​0−Vx​−mVx​2Caf​​−2Car​​lr​​1−Iz​Vx​2Caf​​+2lr2​Car​​​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​e1​e˙1​e2​e˙2​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​0m2Caf​​​0Iz​2lf​Caf​​​​⎦ ⎤​δ+⎣ ⎡​0−mVx​2Caf​​lf​−2Car​​lr​​−Vx​0Iz​Vx​2Caf​​lf2​+2Car​​lr2​​​⎦ ⎤​ψ˙​des​(21)