简介

《BARF: Bundle-Adjusting Neural Radiance Fields》

我们知道NeRF的依赖于准确的先验姿态，而BARF在没有非常准确的位姿情况下，仍然可以取得非常不错的结果。与这项任务相关的论文还有NeRF–，INeRF等等，但是BARF论文中对反向传播的推导是最详细的。

论文贡献

实现流程

给定下列a中的图片，要求算法恢复到图c的结果

最基本的方式是最小化两幅图像之间的光度误差


其中，x ∈ R^2 为图像坐标，L : R ^2 → R^ 3为三通道图像，W : R^2 → R^2 为通过参数p ∈ R^P 描述的一个变换函数，按照梯度下降法的步骤，我们需要求解Δ p \Delta \mathbf{p}Δp进行迭代，那么

矩阵A 有SLAM基础的同学应该知道，如果是高斯牛顿法就是A ( x ; p ) = ( ∑ x J ( x ; p ) ^⊤ J ( x ; p ) ) ^− 1 ，如果是最速梯度下降法则是− 1 ，而其中J ∈ R^(3 × P) 为雅可比矩阵

其中∂ W ( x ; p ) / ∂ p ∈ R^(2 × P) 为变换函数相对参数的导数，这个只要函数预先定义好，导数是好求的。而∂ L ( x ) / ∂ x ∈ R ^(3 × 2) 是图像像素值相对空间坐标的导数，由于图像通常是一个高频复杂信号，想求解该导数是非常困难的，于是作者借助网络来解决该问题，将光度误差公式修改如下

在求解变换函数p的同时求解网络参数Θ ，这样就将上面复杂的数值求解简化成了网络训练过程的梯度下降∂ f ( x ) / ∂ x 。我们来重新观察一下这个网络f 的作用，输入一个坐标x ，输出是该坐标的像素值，这不正是NeRF完成的工作吗？区别只是NeRF是在三维空间中完成此任务，因此我们定一个三维刚体变换W : R^3 → R^3 ，NeRF的积分公式可以写为：

其中u ‾为积分向量，z i 为采样点，g ( ⋅ )为积分公式，p 为三维变换参数，最终损失函数为：

经过上面一通复杂的操作，最后的结论其实就是将表示位姿参数p 1 , … , p M 作为变量给到网络进行更新

在NeRF的输入过程中会有一个Positional Encoding操作

对Positional Encoding操作进行求导后

第k次频的Positional Encoding操作会对原本的梯度信号放大2 k π 倍，而不同频次之间的梯度又会相互影响，这使得有效地更新Δ p 变得更加困难，为了解决这个问题，作者提出了一个类似于动态低频滤波器的操作，如下所示，对第k次频的Positional Encoding进行加权

其中权重Wk定义为

其中α ∈ [ 0 , L ] 是一个随着训练过程不断变化的参数，加入权重后的雅可比计算公式为

当w k ( α ) = 0 时第k次频的梯度就不会回传，在训练初期将高频部分权重置为0，然后再逐步增大α 直到α = L，这样就可以使得网络优先关注低频部分，然后逐步学习高频部分的信息。如下图对比所示，（a）为采用原始的Positional Encoding操作，（b）为不采用Positional Encoding操作，（c）为加入权重后的Positional Encoding操作。