1 伯努利试验

1.1 什么是伯努利试验

伯努利试验

• 伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场。
• 每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种

伯努利概型是一种基于独立重复试验的概率模型，它的基本特征：

• 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
• 每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种
• 每次试验中，相同事件发生的概率均一样。(试验样本总数和概率不能变)
• 各次重复试验的结果是相互独立，互不影响的。
• 1重伯努利试验 就是 0-1分布
• n 重伯努利试验 就是二项分布     p=C(n,k)*p^k*(1-p)^n-k

N重伯努利试验 和二项分布
 优势

• 不要求具体的样本总量的具体 数量
• 只需要知道概率就行，但要求概率是稳定不变的（多次伯努利试验时）
• 还需要知道 抽样试验的次数，目标事件的次数

 局限性

• 能不能用二项分布先判断，是不是符合N重伯努利试验，如果不符合就没戏
• 二项分布，伯努利试验，需要保证样本容量确定，且分布也要稳定，否则不能
• 必须是放回抽样
• 如果是不放回抽样，

1. 要么认为样本极其大，忽略样本总量变化，概率变化不稳定的影响
2. 要么得用超几何分布

使用时注意点

• 需要严格认识的地方：
• N次试验，每次试验都稳定，样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验，才能用二项分布
• 不放回抽样，一般不适合二项分布
• 因为小样本量前提下，不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率，发生变化！第2次试验无法和第1次相同了
• 如果样本量足够大，即使是不放会抽样，可以用二项分布近似

1.2 伯努利试验相关的3种分布

• 0-1分布
• 只进行1次伯努利试验的随机变量，符合0-1分布，f(x=k)=p^k*(1-p)^(1-k)
• k={0,1}

• 几何分布：
• 进行n次伯努利试验，只有最后1次成功，成功次数第N次,N符合几何分布
• f(x=k)=p*(1-p)^(k-1)
• 其中 k 是总试验次数，一共进行了k次，且第k次（也就是最后1次）成功

• 二项分布：
• 进行N次伯努利试验，有k次成功，成功次数k符合二项分布
• f(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
• 其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p）

2 关于0-1分布 (也称为伯努利分布  \ ab分布 \ 两点分布等)

2.1 0-1分布的基本概率和公式

0-1分布：只进行1次伯努利试验的随机变量，结果只有2种，符合0-1分布

 一个随机事件，发生记为k=1，不发生记为k=0，若事件服从0-1分布，

则k的分布律为：      
               k      0       1                 
            p(k)    1-p    p          

• 0-1分布的概率公式 f(x)=p^k*(1-p)^(1-k)
• k={0,1}
• 其实就是

1. k=1时，f(x)=p 
2. k=0时，f(x)=1-p

2.2 0-1分布的概率分布图，pdf 和 cdf

• 0-1分布，因为只有1次试验
• 只有两种结果
• 所以分布图看起来就是这种直线。。。。

2.3 0-1分布的期望和方差                 

• E(X)    = 0*(1-p)+1*p  =    p                
• D(X)    =    p*(1-P)         
• 缺少证明过程       

                                    
            

3  几何分布

3.1 什么是几何分布

几何分布就是一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。

详细地说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

• 首先几何分布，属于古典概型/ 伯努利试验
• 特点是：只有每次试验只可能有两种结果
• 如果只做1次试验，那是属于0-1分布，但是如果做N次试验，但是只有最后一次成功，则随机变量符合 几何分布，但是如果做N次试验，没其他限制，则随机变量符合 二项分布
• 由上可知，0-1分布，几何分布，应该都可以归纳为，二项分布的一种特例。

4 二项分布

4.1 什么是二项分布 和N重伯努利试验

• 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，
• 其中每次试验的成功概率为p。
• 其实，只有符合N重伯努利试验的随机变量，才可能服从二项分布！

• 二项分布包含0-1分布和几何分布
• 当n=1时，二项分布就是伯努利分布，也就是0-1分布，如果只有最后一次成功又是几何分布。

4.2 二项分布的公式

• 一般地，如果随机变量服从参数为和的二项分布，我们记为或。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出： 
• p(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
• 其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p）
• 式中k=0，1，2，…
• 而C(n,k)= n!/(n-k)!*k!  是二项式系数,（这就是二项分布名称的由来）

•  该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(p)和n−k次失败(1 −p)。
• 并且，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有个C(n,k)不同的方法。

4.3 二项分布的两个概率的概念理解

• 二项分布，指的是N次试验里成功k次的概率符合二项分布
• 而内部的单次试验，是伯努利试验，其单次试验的概率p，是稳定不变的。

• N 次试验里成功k次的概率的  k~~p(k) 情况 
• p(k) 是 表示多次试验，且要求（n次出k次成功）的概率
• p(k) 和单次试验的概率P不要混淆
   

4.4 二项分布概率分布函数

4.4.1 二项分布的pdf 和cdf 如图

• 二项分布的pdf
• 二项分布的cdf

4.4.2 二项分布的pdf 的变化

先看下整体图

• 纵向是，单次伯努利试验的p提升
• 横向是，试验次数n的增加
• 内部里面是，坐标系的横轴是 n次试验成功次数k，k的概率变化

纵向看

• 在总试验次数不变的前提下，随着 单次伯努利试验里，概率p的增加
• 整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率越大，n次试验内成功k次，k也会越大，符合直觉）
• 概率很小的时候，可能只成功0次，1次的概率很大，
• 概率很大的时候，试验n次,k次成功的k越来越大，甚至接近n了

横向看

• 在单次伯努利试验里，概率p不变的前提下，随着试验次数的增多
• 整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率不变，n次试验内成功k次，试验次数n越多，k也会越大，符合直觉）
• 但是概率不变前提下， 虽然成功的次数k变多了，但比例并不变（因为基础的单次伯努利试验的概率没变，这是横向变化的前提）

4.5 二项分布的期望和方差

• 二项分布的期望
• E(X)=n*p
• 二项分布的方差
• D(X)=n*p*(1-P)

缺乏推导过程

4.6 二项分布的一个例题

• 如果像利用二项分布，需要灵活的去划分样本空间为2种结果，比如例题中的
• 这样划分2种：这次抽样后需要调整机器  == 对应的变量是本次检验，次品数量>1

1. 今天某次检查次品数>1==今天需要调整机器  / 对立今天不调整机器
2. 每天检查4次，相当于做了4次伯努利试验
3. 方法1，完全用了二项分布思路和解法
4. 方法2，用了古典概型的，每次试验都是独立的，和加法原理加起来算的

• 注意，为了达到目标事件，事件可能需要几次户型转化，随机变量可能要转化几次