高等数学（第七版）同济大学 习题4-5 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题4-5

 

$\begin{array}{rlr}& 利用积分表计算下列不定积分：& \end{array}$

   ( 1 )    ∫ d x 4 x 2 − 9 ；                                  ( 2 )    ∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x ；    ( 3 )    ∫ d x 5 − 4 x + x 2 ；                           ( 4 )    ∫ 2 x 2 + 9 d x ；    ( 5 )    ∫ 3 x 2 − 2 d x ；                              ( 6 )    ∫ e 2 x c o s   x d x ；    ( 7 )    ∫ x a r c s i n   x 2 d x ；                             ( 8 )    ∫ d x ( x 2 + 9 ) 2 ；    ( 9 )    ∫ d x s i n 3   x ；                                       ( 10 )    ∫ e − 2 x s i n   3 x d x ；    ( 11 )    ∫ s i n   3 x s i n   5 x d x ；                       ( 12 )    ∫ l n 3   x d x ；    ( 13 )    ∫ 1 x 2 ( 1 − x ) d x ；                            ( 14 )    ∫ x − 1 x d x ；      ( 15 )    ∫ 1 ( 1 + x 2 ) 2 d x ；                             ( 16 )    ∫ 1 x x 2 − 1 d x ；    ( 17 )    ∫ x ( 2 + 3 x ) 2 d x ；                            ( 18 )    ∫ c o s 6   x d x ；    ( 19 )    ∫ x 2 x 2 − 2 d x ；                          ( 20 )    ∫ 1 2 + 5 c o s   x d x ；    ( 21 )    ∫ d x x 2 2 x − 1 ；                              ( 22 )    ∫ 1 − x 1 + x d x ；    ( 23 )    ∫ x + 5 x 2 − 2 x − 1 d x ；                         ( 24 )    ∫ x d x 1 + x − x 2 ；    ( 25 )   ∫ x 4 25 + 4 x 2 d x   (1)  ∫dx√4x2−9；                                 (2)  ∫1x2+2x+5dx；  (3)  ∫dx√5−4x+x2；                          (4)  ∫√2x2+9dx；  (5)  ∫√3x2−2dx；                             (6)  ∫e2xcos xdx；  (7)  ∫xarcsin x2dx；                            (8)  ∫dx(x2+9)2；  (9)  ∫dxsin3 x；                                      (10)  ∫e−2xsin 3xdx；  (11)  ∫sin 3xsin 5xdx；                      (12)  ∫ln3 xdx；  (13)  ∫1x2(1−x)dx；                           (14)  ∫√x−1xdx；   (15)  ∫1(1+x2)2dx；                            (16)  ∫1x√x2−1dx；  (17)  ∫x(2+3x)2dx；                           (18)  ∫cos6 xdx；  (19)  ∫x2√x2−2dx；                         (20)  ∫12+5cos xdx；  (21)  ∫dxx2√2x−1；                             (22)  ∫√1−x1+xdx；  (23)  ∫x+5x2−2x−1dx；                        (24)  ∫xdx√1+x−x2；  (25) ∫x425+4x2dx

 ​  (1)  ∫4x2−9 ​dx​；                                 (2)  ∫x2+2x+51​dx；  (3)  ∫5−4x+x2 ​dx​；                          (4)  ∫2x2+9 ​dx；  (5)  ∫3x2−2 ​dx；                             (6)  ∫e2xcos xdx；  (7)  ∫xarcsin 2x​dx；                            (8)  ∫(x2+9)2dx​；  (9)  ∫sin3 xdx​；                                      (10)  ∫e−2xsin 3xdx；  (11)  ∫sin 3xsin 5xdx；                      (12)  ∫ln3 xdx；  (13)  ∫x2(1−x)1​dx；                           (14)  ∫xx−1 ​​dx；  (15)  ∫(1+x2)21​dx；                            (16)  ∫xx2−1 ​1​dx；  (17)  ∫(2+3x)2x​dx；                           (18)  ∫cos6 xdx；  (19)  ∫x2x2−2 ​dx；                         (20)  ∫2+5cos x1​dx；  (21)  ∫x22x−1 ​dx​；                             (22)  ∫1+x1−x​ ​dx；  (23)  ∫x2−2x−1x+5​dx；                        (24)  ∫1+x−x2 ​xdx​；  (25) ∫25+4x2x4​dx​​

解：

   ( 1 )  根据积分表（七）公式 45 ，得 ∫ d x 4 x 2 − 9 = 1 2 ∫ d ( 2 x ) 4 x 2 − 9 = 1 2 l n   ∣ 2 x + 4 x 2 − 9 ∣ + C    ( 2 )  根据积分表（五）公式 29 ，得 b 2 − 4 a c = − 16 < 0          ∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x = 1 2 a r c t a n   x + 1 2 + C    ( 3 )  根据积分表（九）公式 73 ，得          ∫ d x 5 − 4 x + x 2 = l n   ∣ 2 x − 4 + 2 x 2 − 4 x + 5 ∣ + C = l n   ∣ x − 2 + x 2 − 4 x + 5 ∣ + C    ( 4 )  根据积分表（六）公式 39 ，得          ∫ 2 x 2 + 9 d x = 2 2 ∫ ( 2 x ) 2 + ( 3 ) 2   d ( 2 x ) = x 2 2 x 2 + 9 + 9 2 4 l n ( 2 x + 2 x 2 + 9 ) + C    ( 5 )  根据积分表（七）公式 53 ，得          ∫ 3 x 2 − 2 d x = 3 3 ∫ ( 3 x ) 2 − ( 2 ) 2 d ( 3 x ) = x 2 3 x 2 − 2 − 3 3 l n   ∣ 3 x + 3 x 2 − 2 ∣ + C    ( 6 )  根据积分表（十三）公式 129 ，得 ∫ e 2 x c o s   x d x = 1 5 e 2 x ( s i n   x + 2 c o s   x ) + C    ( 7 )  根据积分表（十二）公式 114 ，得 ∫ x a r c s i n   x 2 d x = ( 1 2 x 2 − 1 ) a r c s i n   x 2 + x 4 4 − x 2 + C    ( 8 )  根据积分表（四）公式 28 ，得 ∫ d x ( x 2 + 9 ) 2 = x 18 x 2 + 162 + 1 18 ∫ d x x 2 + 9 = x 18 x 2 + 162 + 1 54 a r c t a n   x 3 + C    ( 9 )  根据积分表（十一）公式 97 ，得 ∫ d x s i n 3   x = − 1 2 ⋅ c o s   x s i n 2   x + 1 2 ∫ d x s i n   x = − 1 2 c o t   x c s c   x + 1 2 l n   ∣ c s c   x − c o t   x ∣ + C    ( 10 )  根据积分表（十三）公式 128 ，得 ∫ e − 2 x s i n   3 x d x = 1 13 e − 2 x ( − 2 s i n   3 x − 3 c o s   3 x ) + C    ( 11 )  根据积分表（十一）公式 101 ，得 ∫ s i n   3 x s i n   5 x d x = − 1 16 s i n   8 x + 1 4 s i n   2 x + C    ( 12 )  根据积分表（十四）公式 135 ，得 ∫ l n 3   x d x = x l n 3   x − 3 ∫ l n 2   x d x = x l n 3   x − 3 x l n 2   x + 6 x l n   x − 6 x + C    ( 13 )  根据积分表（一）公式 6 ，得 ∫ 1 x 2 ( 1 − x ) d x = − 1 x − l n   ∣ 1 − x x ∣ + C    ( 14 )  根据积分表（二）公式 17 ，得 ∫ x − 1 x d x = 2 x − 1 − ∫   d x x x − 1 ，           再根据积分表（二）公式 15 ，得 2 x − 1 − ∫   d x x x − 1 = 2 x − 1 − 2 a r c t a n x − 1 + C    ( 15 )  根据积分表（三）公式 20 ，得 ∫ 1 ( 1 + x 2 ) 2 d x = x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ∫ d x x 2 + a 2 ，           再根据积分表（三）公式 19 ，得 x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ∫ d x x 2 + a 2 = x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 a r c t a n   x + C    ( 16 )  根据积分表（七）公式 51 ，得 ∫ 1 x x 2 − 1 d x = a r c c o s   1 ∣ x ∣ + C    ( 17 )  根据积分表（一）公式 7 ，得 ∫ x ( 2 + 3 x ) 2 d x = 1 9 ( l n   ∣ 3 x + 2 ∣ + 2 3 x + 2 ) + C    ( 18 )  根据积分表（十一）公式 96 ，得 ∫ c o s 6   x d x = 1 6 c o s 5   x s i n   x + 5 6 ∫ c o s 4   x d x =            1 6 c o s 5   x s i n   x + 5 6 ( 1 4 c o s 3   x s i n   x + 3 4 ( x 2 + 1 4 s i n   2 x ) ) + C =            1 6 c o s 5   x s i n   x + 5 24 c o s 3   x s i n   x + 5 16 x + 5 32 s i n   2 x + C    ( 19 )  根据积分表（七）公式 56 ，得 ∫ x 2 x 2 − 2 d x = x 4 ( x 2 − 1 ) x 2 − 2 − 1 2 l n   ∣ x + x 2 − 2 ∣ + C    ( 20 )  根据积分表（十一）公式 106 ，得 ∫ 1 2 + 5 c o s   x d x = 1 21 l n   ∣ 3 t a n   x 2 + 7 3 t a n   x 2 − 7 ∣ + C    ( 21 )  根据积分表（二）公式 16 ，得 ∫ d x x 2 2 x − 1 = 2 x − 1 x + ∫ d x x 2 x − 1 ，           再根据积分表（二）公式 15 ，得 2 x − 1 x + ∫ d x x 2 x − 1 = 2 x − 1 x + 2 a r c t a n 2 x − 1 + C    ( 22 )  根据积分表（十）公式 80 ，得 ∫ 1 − x 1 + x d x = ( x + 1 ) 1 − x 1 + x − 2 a r c s i n 1 − x 2 + C =            1 − x 2 − 2 a r c s i n 1 − x 2 + C    ( 23 )   ∫ x + 5 x 2 − 2 x − 1 d x = ∫ x x 2 − 2 x − 1 d x + 5 ∫ 1 x 2 − 2 x − 1 d x ，根据积分表（五）公式 30 和 29 ，得            ∫ x x 2 − 2 x − 1 d x + 5 ∫ 1 x 2 − 2 x − 1 d x = 1 2 l n   ∣ x 2 − 2 x − 1 ∣ + 6 ∫ 1 x 2 − 2 x − 1 d x =            1 2 l n   ∣ x 2 − 2 x − 1 ∣ + 3 2 l n   ∣ x − 2 − 1 x + 2 − 1 ∣ + C    ( 24 )  根据积分表（八）公式 61 和 59 ，得 ∫ x d x 1 + x − x 2 = ∫ x d x 5 4 − ( x − 1 2 ) 2 = ∫ ( x − 1 2 + 1 2 ) d ( x − 1 2 ) 5 4 − ( x − 1 2 ) 2 =            ∫ ( x − 1 2 ) d ( x − 1 2 ) 5 4 − ( x − 1 2 ) 2 + 1 2 ∫ d ( x − 1 2 ) 5 4 − ( x − 1 2 ) 2 = − 5 4 − ( x − 1 2 ) 2 + 1 2 a r c s i n   2 x − 1 5 + C =            − 1 + x − x 2 + 1 2 a r c s i n   2 x − 1 5 + C    ( 25 )   ∫ x 4 25 + 4 x 2 d x = ∫ ( 4 x 2 − 25 16 + 625 16 ( 4 x 2 + 25 ) ) d x = ∫ ( 1 4 x 2 − 25 16 + 625 16 ( 4 x 2 + 25 ) ) d x =            1 12 x 3 − 25 16 x + 625 32 ∫ 1 4 x 2 + 25 d ( 2 x ) ，根据积分表（三）公式 19 ，得            1 12 x 3 − 25 16 x + 625 32 ∫ 1 4 x 2 + 25 d ( 2 x ) = 1 12 x 3 − 25 16 x + 125 32 a r c t a n   2 x 5 + C   (1) 根据积分表（七）公式45，得∫dx√4x2−9=12∫d(2x)√4x2−9=12ln |2x+√4x2−9|+C  (2) 根据积分表（五）公式29，得b2−4ac=−16<0        ∫1x2+2x+5dx=12arctan x+12+C  (3) 根据积分表（九）公式73，得        ∫dx√5−4x+x2=ln |2x−4+2√x2−4x+5|+C=ln |x−2+√x2−4x+5|+C  (4) 根据积分表（六）公式39，得        ∫√2x2+9dx=√22∫√(√2x)2+(3)2 d(√2x)=x2√2x2+9+9√24ln(√2x+√2x2+9)+C  (5) 根据积分表（七）公式53，得        ∫√3x2−2dx=√33∫√(√3x)2−(√2)2d(√3x)=x2√3x2−2−√33ln |√3x+√3x2−2|+C  (6) 根据积分表（十三）公式129，得∫e2xcos xdx=15e2x(sin x+2cos x)+C  (7) 根据积分表（十二）公式114，得∫xarcsin x2dx=(12x2−1)arcsin x2+x4√4−x2+C  (8) 根据积分表（四）公式28，得∫dx(x2+9)2=x18x2+162+118∫dxx2+9=x18x2+162+154arctan x3+C  (9) 根据积分表（十一）公式97，得∫dxsin3 x=−12⋅cos xsin2 x+12∫dxsin x=−12cot xcsc x+12ln |csc x−cot x|+C  (10) 根据积分表（十三）公式128，得∫e−2xsin 3xdx=113e−2x(−2sin 3x−3cos 3x)+C  (11) 根据积分表（十一）公式101，得∫sin 3xsin 5xdx=−116sin 8x+14sin 2x+C  (12) 根据积分表（十四）公式135，得∫ln3 xdx=xln3 x−3∫ln2 xdx=xln3 x−3xln2 x+6xln x−6x+C  (13) 根据积分表（一）公式6，得∫1x2(1−x)dx=−1x−ln |1−xx|+C  (14) 根据积分表（二）公式17，得∫√x−1xdx=2√x−1−∫ dxx√x−1，          再根据积分表（二）公式15，得2√x−1−∫ dxx√x−1=2√x−1−2arctan√x−1+C  (15) 根据积分表（三）公式20，得∫1(1+x2)2dx=x2(x2+1)+12∫dxx2+a2，          再根据积分表（三）公式19，得x2(x2+1)+12∫dxx2+a2=x2(x2+1)+12arctan x+C  (16) 根据积分表（七）公式51，得∫1x√x2−1dx=arccos 1|x|+C  (17) 根据积分表（一）公式7，得∫x(2+3x)2dx=19(ln |3x+2|+23x+2)+C  (18) 根据积分表（十一）公式96，得∫cos6 xdx=16cos5 xsin x+56∫cos4 xdx=          16cos5 xsin x+56(14cos3 xsin x+34(x2+14sin 2x))+C=          16cos5 xsin x+524cos3 xsin x+516x+532sin 2x+C  (19) 根据积分表（七）公式56，得∫x2√x2−2dx=x4(x2−1)√x2−2−12ln |x+√x2−2|+C  (20) 根据积分表（十一）公式106，得∫12+5cos xdx=1√21ln |√3tan x2+√7√3tan x2−√7|+C  (21) 根据积分表（二）公式16，得∫dxx2√2x−1=√2x−1x+∫dxx√2x−1，          再根据积分表（二）公式15，得√2x−1x+∫dxx√2x−1=√2x−1x+2arctan√2x−1+C  (22) 根据积分表（十）公式80，得∫√1−x1+xdx=(x+1)√1−x1+x−2arcsin√1−x2+C=          √1−x2−2arcsin√1−x2+C  (23) ∫x+5x2−2x−1dx=∫xx2−2x−1dx+5∫1x2−2x−1dx，根据积分表（五）公式30和29，得          ∫xx2−2x−1dx+5∫1x2−2x−1dx=12ln |x2−2x−1|+6∫1x2−2x−1dx=          12ln |x2−2x−1|+3√2ln |x−√2−1x+√2−1|+C  (24) 根据积分表（八）公式61和59，得∫xdx√1+x−x2=∫xdx√54−(x−12)2=∫(x−12+12)d(x−12)√54−(x−12)2=          ∫(x−12)d(x−12)√54−(x−12)2+12∫d(x−12)√54−(x−12)2=−√54−(x−12)2+12arcsin 2x−1√5+C=          −√1+x−x2+12arcsin 2x−1√5+C  (25) ∫x425+4x2dx=∫(4x2−2516+62516(4x2+25))dx=∫(14x2−2516+62516(4x2+25))dx=          112x3−2516x+62532∫14x2+25d(2x)，根据积分表（三）公式19，得          112x3−2516x+62532∫14x2+25d(2x)=112x3−2516x+12532arctan 2x5+C

​  (1) 根据积分表（七）公式45，得∫4x2−9 ​dx​=21​∫4x2−9 ​d(2x)​=21​ln ∣2x+4x2−9 ​∣+C  (2) 根据积分表（五）公式29，得b2−4ac=−16<0        ∫x2+2x+51​dx=21​arctan 2x+1​+C  (3) 根据积分表（九）公式73，得        ∫5−4x+x2 ​dx​=ln ∣2x−4+2x2−4x+5 ​∣+C=ln ∣x−2+x2−4x+5 ​∣+C  (4) 根据积分表（六）公式39，得        ∫2x2+9 ​dx=22 ​​∫(2 ​x)2+(3)2 ​ d(2 ​x)=2x​2x2+9 ​+492 ​​ln(2 ​x+2x2+9 ​)+C  (5) 根据积分表（七）公式53，得        ∫3x2−2 ​dx=33 ​​∫(3 ​x)2−(2 ​)2 ​d(3 ​x)=2x​3x2−2 ​−33 ​​ln ∣3 ​x+3x2−2 ​∣+C  (6) 根据积分表（十三）公式129，得∫e2xcos xdx=51​e2x(sin x+2cos x)+C  (7) 根据积分表（十二）公式114，得∫xarcsin 2x​dx=(21​x2−1)arcsin 2x​+4x​4−x2 ​+C  (8) 根据积分表（四）公式28，得∫(x2+9)2dx​=18x2+162x​+181​∫x2+9dx​=18x2+162x​+541​arctan 3x​+C  (9) 根据积分表（十一）公式97，得∫sin3 xdx​=−21​⋅sin2 xcos x​+21​∫sin xdx​=−21​cot xcsc x+21​ln ∣csc x−cot x∣+C  (10) 根据积分表（十三）公式128，得∫e−2xsin 3xdx=131​e−2x(−2sin 3x−3cos 3x)+C  (11) 根据积分表（十一）公式101，得∫sin 3xsin 5xdx=−161​sin 8x+41​sin 2x+C  (12) 根据积分表（十四）公式135，得∫ln3 xdx=xln3 x−3∫ln2 xdx=xln3 x−3xln2 x+6xln x−6x+C  (13) 根据积分表（一）公式6，得∫x2(1−x)1​dx=−x1​−ln ∣ ∣​x1−x​∣ ∣​+C  (14) 根据积分表（二）公式17，得∫xx−1 ​​dx=2x−1 ​−∫ xx−1 ​dx​，          再根据积分表（二）公式15，得2x−1 ​−∫ xx−1 ​dx​=2x−1 ​−2arctanx−1 ​+C  (15) 根据积分表（三）公式20，得∫(1+x2)21​dx=2(x2+1)x​+21​∫x2+a2dx​，          再根据积分表（三）公式19，得2(x2+1)x​+21​∫x2+a2dx​=2(x2+1)x​+21​arctan x+C  (16) 根据积分表（七）公式51，得∫xx2−1 ​1​dx=arccos ∣x∣1​+C  (17) 根据积分表（一）公式7，得∫(2+3x)2x​dx=91​(ln ∣3x+2∣+3x+22​)+C  (18) 根据积分表（十一）公式96，得∫cos6 xdx=61​cos5 xsin x+65​∫cos4 xdx=          61​cos5 xsin x+65​(41​cos3 xsin x+43​(2x​+41​sin 2x))+C=          61​cos5 xsin x+245​cos3 xsin x+165​x+325​sin 2x+C  (19) 根据积分表（七）公式56，得∫x2x2−2 ​dx=4x​(x2−1)x2−2 ​−21​ln ∣x+x2−2 ​∣+C  (20) 根据积分表（十一）公式106，得∫2+5cos x1​dx=21 ​1​ln ∣ ∣​3 ​tan 2x​−7 ​3 ​tan 2x​+7 ​​∣ ∣​+C  (21) 根据积分表（二）公式16，得∫x22x−1 ​dx​=x2x−1 ​​+∫x2x−1 ​dx​，          再根据积分表（二）公式15，得x2x−1 ​​+∫x2x−1 ​dx​=x2x−1 ​​+2arctan2x−1 ​+C  (22) 根据积分表（十）公式80，得∫1+x1−x​ ​dx=(x+1)1+x1−x​ ​−2arcsin21−x​ ​+C=          1−x2 ​−2arcsin21−x​ ​+C  (23) ∫x2−2x−1x+5​dx=∫x2−2x−1x​dx+5∫x2−2x−11​dx，根据积分表（五）公式30和29，得          ∫x2−2x−1x​dx+5∫x2−2x−11​dx=21​ln ∣x2−2x−1∣+6∫x2−2x−11​dx=          21​ln ∣x2−2x−1∣+2 ​3​ln ∣ ∣​x+2 ​−1x−2 ​−1​∣ ∣​+C  (24) 根据积分表（八）公式61和59，得∫1+x−x2 ​xdx​=∫45​−(x−21​)2 ​xdx​=∫45​−(x−21​)2 ​(x−21​+21​)d(x−21​)​=          ∫45​−(x−21​)2 ​(x−21​)d(x−21​)​+21​∫45​−(x−21​)2 ​d(x−21​)​=−45​−(x−21​)2 ​+21​arcsin 5 ​2x−1​+C=          −1+x−x2 ​+21​arcsin 5 ​2x−1​+C  (25) ∫25+4x2x4​dx=∫(164x2−25​+16(4x2+25)625​)dx=∫(41​x2−1625​+16(4x2+25)625​)dx=          121​x3−1625​x+32625​∫4x2+251​d(2x)，根据积分表（三）公式19，得          121​x3−1625​x+32625​∫4x2+251​d(2x)=121​x3−1625​x+32125​arctan 52x​+C​​