最短路径算法之一：单源无权图，python实现

在图论中，有一类经典问题，就是最短路径问题。最短路径问题，又分为：

• 单源无权图最短路径问题
• 单源有权图最短路径问题
• 多源有权图最短路径问题

问题：啥叫单源，多源？

单源指的是给定一个起点，求到任意顶点的最短路径；多源指的是给定两个顶点，求这两个顶点的最短路径。

问题：啥叫有权，无权？

权，即权重，指的是两个邻接点的边的权重。无权的条件下，我们默认所有边的权重一致（给个默认值）；有权条件下，每条边的权重不一致。这就导致了V1到V2也许经过的顶点数不是最少的，但可能是路径最短的，比如下图：

v1-v3经过的顶点最少，但路径不是最短的，最短路径是v1-v2-v3。

这篇文章，讨论单源无权图的最短路径，以下图为例展开讨论。

算法思想：

        利用BFS广度优先算法，把路径按照递增的顺序入队，对第k个顶点，假设他的最短路是n，那么对k的（未访问过的）邻接节点来说，它们的最短路则是n+1，所以满足BFS满足路径递增要求。用一个dist 数组保存s到各顶点的最短路径。dist[i] 表示 从顶点s到i 的最短路径，默认为-1。

        先把起点s压入队列，dist[s] = 0（自己到自己）；

        从队列中弹出一个顶点V，直到队列为空；遍历该顶点的所有未经访问的邻接结点（未经访问的结点dist[i] = -1，否则为最短路径），并更新邻接结点的dist为 dist[V]+1；

        当队列为空时，已经求得s到任意顶点的最短路径。

步骤拆分分析：

先确认起点s，假设起点是V1，V1入队。

• 此时队列 [ v1 ]

从队列中弹出一个顶点：V1，访问V1的所有邻接点。

• V1的邻接点有V2、V4。V2、V4都没有访问过，更新他们的dist为dist[V1] + 1，并依次入队
• 此时队列 [ v2, v4 ]

从队列中弹出一个顶点：V2，V2的所有邻接结点的最短路径是 dist[V2]的基础上再加一条边，符合按照路径递增的顺序访问，先访问dist = 1的顶点，然后访问dist=2的顶点，.....。

• V2的邻接结点有V4、V5，由于V4已经访问过了，跳过V4。更新dist[V5] = dist[V2]+1，V5入队。
• 此时队列 [ v4, V5 ]

从队列中再弹出一个顶点：V4，接着跟上次的步骤一样。

• V4的邻接结点有V3、V5、V6、V7，由于dist[V5]不等于-1，表示已经访问过了，跳过V5。更新dist[V3/6/7] = dist[V4]+1，V3、V6、V7入队。
• 此时队列 [v5, v3, v6, v7]

从队列中再弹出一个顶点：V5，接着跟上次的步骤一样。

• V5的邻接结点有V7，但是由于V7已经访问过了，所以跳过
• 此时队列 [v3, v6, v7]

从队列中再弹出一个顶点：V3，接着跟上次的步骤一样。

• V3的邻接结点有V1、V6，但是由于V1和V6都访问过了，所以跳过
• 此时队列 [v6, v7]

从队列中再弹出一个顶点：V6，接着跟上次的步骤一样。

• V6的没有邻接结点，跳过
• 此时队列 [v7]

从队列中再弹出一个顶点：V7，接着跟上次的步骤一样。

• V7的邻接结点有V6，由于V6已经访问过了，跳过
• 此时队列 []，为空

此时判断队列为空，说明所有结点已经求得最短路径。

代码实现：

class UnweightBFS(BFSVisit):
 
    def __init__(self):
        super(UnweightBFS, self).__init__()
        self.dist = []
 
    def initVisted(self, g):
        super(UnweightBFS, self).initVisted(g)
        self.dist = [-1 for v in range(g.nV)]  # 保存s到i的最短路径
 
    def visit(self, g, v: int):
        """
        最短路径
        g: 图（矩阵实现）
        v: 起点
        """
        Q = QueueArr()  # 初始化一个空队列 （我自己写的队列）
        Q.addQ(v)
        self.dist[v] = 0
 
        while(not Q.isEmpty()):
            V = Q.deleteQ()
 
            for i, val in enumerate(g.G[V]):
                if (self.dist[i] == -1 and g.G[V][i] > 0):  # 未访问过，且是邻接节点（有边）
                    self.dist[i] = self.dist[V] + 1
                    Q.addQ(i)