1 $KMP$算法

简介：

字符串中查找子串，是前缀函数的一个典型应用

引入： 朴素字符串匹配做法

具体实现：

• 在字符串 $s$ 中一位一位比较模式串P的每一位；
• 若失败，则移位到字符串 $s$ 的下一位，继续从头比较模式串 $p$

时间复杂度：$O(n\ast m)$

KMP算法

我们不难看出朴素做法中有很多信息没有利用起来，从而做了很多重复匹配
我们的KMP算法就是把朴素做法中的信息最大化利用，从而将时间复杂度降低至线性

首先分析 $next$ 数组：

如图所示：假设我们分析到了 字符 $s[i]$ 与 $p[j+1]$ 的关系

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若， 字符 $s[i]$ 与 $p[j+1]$相等，则继续匹配下一位
若， 字符 $s[i]$ 与 $p[j+1]$ 不相等，则 字符串 s 与 p 开始匹配的位置向右移动一位，$i$ 倒回之前 $s$ 匹配的开头的后一位，$j$ 倒回字符串 $p$ 的开头，重新从 $p[1]$ 开始匹配，当匹配到下图情况时，再一次（最先的一次）匹配到了 字符 $s[i]$ 与 $p^{\prime }[j+1]$，即、最下面的一条线

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则可知：下图的五段字符都相等

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如果我们直接令其匹配 $p^{\prime }[j+1]$ 位置，就可以不用使 $i$ 倒回前面的位置，从而使 $i$ 一直向右走，达到线性的时间复杂度 $O(n)$

但，此时我们的 $p$ 字符串该如何移动，才能使其恰好再次匹配到 $p^{\prime }[j+1]$ ?

这就是我们的 $next[i]$ 数组的含义：(四种说法，帮助理解）

1. 当匹配失败时，$p$ 向后移动的最小步数，
2. 同义于 最大程度保留 $p$ 字符串后缀的最小移动步数
3. 即、以 $p[i]$ 结尾的后缀中，能够匹配前缀的最大长度
4. 通俗来讲就是，前后缀相等的最大长度

这样当我们匹配失败时，接下来的步骤为：

• 将 $j$ 变为 $next[j]$ 可最大程度的帮助我们的下一次匹配成功
• 若 $next[j]$ 再次失败，则变为 $next[next[j]]$ 我们的 $next[j]$ 的边界 $next[1]$ 为 $0$
  即一个字符也没匹配成功，只能重新匹配……

转化为代码为：

// KMP匹配过程
for(int i = 1, j = 0; i <= n; i ++ )
{
	// 到达边界，或者匹配成功了，就退出next的循环，
	// 否则则为匹配失败，j = next[j]，进行next[j]过后的下一位字符匹配
    while(j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if(s[i] == p[j + 1]) j ++; // 若匹配成功，则 j ++
    if(j == m) // 完全匹配，输出完全匹配的s串的开头的下标（题目内容于本模板无关）
    {
        cout << i - j << " ";
        j = ne[j];
    }
}
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如何求 $next$ 数组？

接下来我们将问题转化为如何求 $next$ 数组 ?

含义：

$next[j]$ 为：在 $p$ 中以 $p[j]$ 结尾的与前缀相等的最大后缀，$next[i]$ $=$ 最大前缀的末尾下标 。

可类似于利用字符串匹配时的 $next$ 数组的思想，线性求 $next$ 数组,时间复杂度：O(n)

可转化为 字符串 $p$ 匹配字符串 $p$
即如图所示匹配：

现，假设我们已经求出 $1到(n-1)$ 中任意下标的 $next[i]$
则，当前匹配的情况即为 $next[i-1]$ ，即为 $j=next[i-1]$
解释如下：图中所示的两段和第二根紫线都相等，如此，即为 $p[i-1]$ 结尾的，最大前缀和后缀相等，即为 $next[i-1]$ 的定义；

若， $p[i]$ 和 $p[j+1]$ 匹配成功，则 $j++$ ，即、$next[i]=next[i-1]+1$
若， $p[i]$ 和 $p[j+1]$ 匹配失败，则将 $j$ 变为 $next[j]$ 即，最小向后移动的次数（和匹配过程一样，如此可和之前的步骤完全一致），下图帮助理解：

求 $next$ 数组代码如下：

// 求next数组，即、模式串p中的与前缀相等的最大后缀
for(int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ )
{
    while(j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if(p[i] == p[j + 1]) j ++;
    ne[i] = j;
}
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至此，

• 我们的 $KMP$ 字符串匹配过程原理，已解释清楚
• $next[j]$ 数组的含义，原理，求法，已解释清楚

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PS.
如果你此时完全看明白了，那么恭喜你！算法界两大门神之一的$KMP$ 算法 ，你已经完全掌握（超越了大部分的初学者呦，恭喜恭喜！！）以后算法的道路会越来越通畅。

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2 $substr()$ 函数

简介：

字符串截取函数

用法：

假设：string s = "0123456789";

• 法一：string sub1 = s.substr(5); //只有一个数字5表示从下标为5开始一直到结尾：sub1 = "56789"
• 法二：string sub2 = s.substr(5, 3); //从下标为5开始截取长度为3位：sub2 = "567"

时间复杂度：

• $substr(pos,len)$ 返回从 $pos$ 开始，长度为 $len$ 的字串，时间复杂度为$O（len）$

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3 两者时间复杂度对比

若s串为n长度，p串为m长度
则：

调用substr函数时间复杂度：

一次调用为O(m)，仅调用 $n-m+1$ 次，则时间复杂度为 $O((n-m+1)\ast m)$ 貌似比朴素做法的 $O(n\ast m)$ 好一点，hh，但其实，，还是 $O(n\ast m)$ 级别的，，，很不幸，大部分情况下题目是不允许这种时间复杂度的，TLE在等着你，，

用 $KMP$ 做法：

一次最多子串从 $1$ 走到 $m$，所以时间复杂度介于 $O(n)$ ~ $O(n+m)$，比 $O(n\ast m)$ 快了很多的 ，如此一来，方可 $AC$ ！

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至此，本篇博文结束 !
感谢您的阅读，如不耽误你，请您点击一下大拇指呦！帮助更多的初学者理解$KMP$，我辈义不容辞！！！😊