信号与系统 --- 傅里叶变换时/频对照表（个人学习笔记）

对应关系1（傅里叶级数与傅里叶变换的意义）：

1，时域的周期 对应 频域的离散

2，时域的非周期 对应 频域的连续

3，时域的非周期信号  对应  傅里叶变换Transform

4，时域的周期信号  对应  傅里叶级数Series

        对于第一条而言，周期信号可写成傅里叶级数的求和形式(频谱离散)。

        也就是说，因为，傅里叶分析的本质使用三角波合成任意波形，又因为，三角波都是周期信号，且都是正负向无穷的信号，因此，如果说一个波形，在时域是周期且无穷的，那么就只需要有限个三角波合成就行了，有限个意味着离散（注意，“有限个”也能有无穷多个，但依然还是离散的）。比如说，如果说一个时域信号本身就是一个正弦信号，那么用于合成他的频域信号，只需要对应频率上的一个点（有可能是一对点）就行了。

        而非周期信号，也就是上面说的第二条，他是傅里叶变换的积分形式(频谱连续)。

        因为，原始信号是非周期的，而非周期，就意味着不连续或者说很剧烈的跳变，不连续的信号需要用无穷多个正弦波和余弦波合成，(因为，正弦信号和余弦信号本身就不是那种跳变非常明显的信号，所以，用他们来合成一个不连续且剧烈跳变的信号是一个短板，例如，在合成方波信号时，就会出现Gibbs现象)。正因为是无穷多个正弦波和余弦波合成的，所以说是连续的，连续意味着无穷。

对应关系2（数字信号的基本性质）：

5，时域的连续 对应 频域的非周期

6，时域的离散 对应 频域的周期

        时域中的连续信号，采样后变成离散时间信号，其频谱以2pi为周期。

对应关系1和对应关系2的应用： 

        针对任意一个时域信号，首先根据第一条对应关系，先判断他们是周期还是非周期的，不论在时域是周期（频域是离散的）还是非周期（频域是连续的），他们在频域都既可能是周期的或者是非周期，这时再根据第二条对应关系。如下图所示：

         比如说，我的输入时域信号是连续周期的，也就是上图中的第三行信号。根据对应关系1，因为他是周期的，那么对应的频域信号就只可能是离散的，也就是下图中我框出来的FS和DFS两者之一。

         接下来根据对应关系2，又因为他是连续的，所以他在频域是非周期的。最终确定，他所对应的是傅里叶级数FS。

 对应关系3（傅里叶级数到傅里叶变换的转化）：

        级数是对变换的采样，变换是级数的包络。（把非周期信号看成是周期无限大的周期信号）

        从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换的秘籍就是傅里叶自己说过的一句话：

 先看一个周期信号的傅里叶级数的例子：

        该方波的周期为T，即，以T为周期循环。在【-T1~T1】处为1，在【-T/2~-T1】处和【T1~T/2】处为0。

         原始信号的长度为2*T1，随着基波周期T的不断增加4*T1,8*T1,16*T1，采样间隔2Pi/T越来越小。

把非周期信号看成是周期无限大的周期信号：

        我们把下图反过来看，假设我们的原始信号是下图中的b，b是一个周期信号，且周期为T。如果我们把这个周期信号的周期T放到无限大，就变成了下图中的a，虽然依然还是一个周期信号，但是他的其他Copys都在无穷远处。

         而时域上的这种变换，对应在频域上等同于不断地缩小傅里叶级数之间的样本间隔，直到变成“连续”的傅里叶级数，也就是傅里叶变换。这也是从求和到求积分的转化。

补充（离散时间傅里叶变换举例）：

 （全文完） 

参考文献：

1，傅里叶变换系列学习（4)----物理意义 - 知乎

2，信号与系统，第二版，奥本海姆

格言摘抄：满了一把，得享安静。强如满了两把，劳碌捕风。---《圣经-传道书》

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