• Java数据结构与算法（二）

    Java数据结构与算法（二）

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    第六章 递归

    1 递归应用场景

    看个实际应用场景，迷宫问题(回溯)， 递归(Recursion)

    在这里插入图片描述

    2 递归的概念

    简单的说: 递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量：递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。

    3 递归调用机制

    我列举两个小案例,来帮助大家理解递归，部分学员已经学习过递归了，这里在给大家回顾一下递归调用机制

    1）打印问题

    2）阶乘问题

    3） 使用图解方式说明了递归的调用机制

    在这里插入图片描述

    4） 代码演示

    public static void main(String[] args) {
		//通过打印问题，回顾递归调用机制
		test(4);
		//int res = factorial(3);
		//System.out.println("res=" + res);
}
//打印问题
public static void test(int n) {
	if (n > 2) {
		test(n - 1);
	}
	System.out.println("n=" + n);
}
//输出结果-------
n=2
n=3
n=4

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    public static void main(String[] args) {
		//通过打印问题，回顾递归调用机制
		test(4);
		//int res = factorial(3);
		//System.out.println("res=" + res);
}
//打印问题
public static void test(int n) {
	if (n > 2) {
		test(n - 1);
	}else{
		System.out.println("n=" + n);//说明 当 n=2 时 n > 2 为false 才进入打印语句
	}
}
//输出结果-------
n=2

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    public static void main(String[] args) {
	int res = factorial(3);
	System.out.println("res=" + res);//6
}
//阶乘问题
public static int factorial(int n) {
	if (n == 1) { 
		return 1;
	} else {
		return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
	}
}

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    4 递归能解决什么样的问题

    递归用于解决什么样的问题

    1） 各种数学问题如: 8 皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google 编程大赛)

    2）各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等.

    3）将用栈解决的问题–>第归代码比较简洁

    5 递归需要遵守的重要规则

    递归需要遵守的重要规则

    1） 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)

    2） 方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如 n 变量

    3） 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.

    4） 递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现StackOverflowError，死龟了:)

    5） 当一个方法执行完毕，或者遇到 return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕

    6 递归-迷宫问题

    6.1 迷宫问题

    6.1迷宫问题

    6.2 代码实现

    public class MiGong {
    public static void main(String[] args) {
        // 先创建一个二维数组，模拟迷宫
        // 地图
        int[][] map = new int[8][7];
        // 使用1 表示墙
        // 上下全部置为1
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }

        // 左右全部置为1
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }

        //设置挡板, 1 表示
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
//		map[1][2] = 1;
//		map[2][2] = 1;

        // 输出地图
        System.out.println("地图的情况");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        //使用递归回溯给小球找路
        //setWay(map, 1, 1);
        setWay2(map, 1, 1);

        //输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
        System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    //使用递归回溯来给小球找路
    //说明
    //1. map 表示地图
    //2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
    //3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
    //4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙  ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
    //5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
    /**
     *
     * @param map 表示地图
     * @param i 从哪个位置开始找
     * @param j
     * @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
     */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
        if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
            return true;
        }else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
                //按照策略 下->右->上->左  走
                map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通
                if(setWay(map, i+1, j)) {//向下走
                    return true;
                }else if (setWay(map, i, j+1)) { //向右走
                    return true;
                } else if (setWay(map, i-1, j)) { //向上
                    return true;
                }else if (setWay(map, i, j-1)){ // 向左走
                    return true;
                }else {
                    //说明该点是走不通，是死路
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            }else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
                return false;
            }
        }
    }

    //修改找路的策略，改成 上->右->下->左
    public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
        if(map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
            return true;
        } else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
                //按照策略 上->右->下->左
                map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
                if(setWay2(map, i-1, j)) {//向上走
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i, j+1)) { //向右走
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i+1, j)) { //向下
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i, j-1)){ // 向左走
                    return true;
                } else {
                    //说明该点是走不通，是死路
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
                return false;
            }
        }
    }
}

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    6.3 对迷宫问题的讨论

    1）小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关

    2）再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化

    3）测试回溯现象

    4）思考: 如何求出最短路径? 思路-》代码实现.

    7 递归-八皇后问题(回溯算法)

    7.1 八皇后问题介绍

    八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法(92)。

    在这里插入图片描述

    7.2 八皇后问题算法思路分析

    1） 第一个皇后先放第一行第一列

    2）第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适

    3） 继续第三个皇后，还是第一列、第二列…直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解

    4） 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.

    5） 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤

    6） 示意图:

    在这里插入图片描述

    说明：
    理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] ={0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1
    行的第 val+1 列

    7.3 八皇后问题算法代码实现

    代码演示

    public class Queue8 {
    public static void main(String[] args) {
        //测试一把 ， 8皇后是否正确
        Queue8 queue8 = new Queue8();
        queue8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d解法", count);
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
    }

    //定义一个max表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    //定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;

    //编写一个方法，放置第n个皇后
    //特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有  for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
    private void check(int n) {
        if(n == max) {  //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
            print();
            return;
        }

        //依次放入皇后，并判断是否冲突
        for(int i = 0; i < max; i++) {
            //先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
            array[n] = i;
            //判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
            if(judge(n)) { // 不冲突
                //接着放n+1个皇后,即开始递归
                check(n+1); //
            }
            //如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
        }
    }

    //查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
    /**
     *
     * @param n 表示第n个皇后
     * @return
     */
    private boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            // 说明
            //1. array[i] == array[n]  表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
            //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
            // n = 1  放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
            // Math.abs(1-0) == 1  Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
            //3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
            if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    //写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

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    第七章 排序算法

    1 排序算法的介绍

    排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

    2 排序的分类

    1）内部排序:
    指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。

    2） 外部排序法：
    数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储(文件等)进行排序。

    3）常见的排序算法分类:

    在这里插入图片描述

    3 算法的时间复杂度

    3.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

    1）事后统计的方法

    这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

    2） 事前估算的方法

    通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

    3.2 时间频度

    基本介绍

    时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。

    举例说明-基本案例

    比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法：

    在这里插入图片描述

    举例说明-忽略常数项

    在这里插入图片描述

    结论:

    1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略
    2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

    举例说明-忽略低次项

    在这里插入图片描述

    结论:

    1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
    2. n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

    举例说明-忽略系数

    在这里插入图片描述

    结论:

    1. 随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
    2. 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

    3.3 时间复杂度

    1） 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

    2）T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²)。

    3）计算时间复杂度的方法

    • 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    • 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

    3.4 常见的时间复杂度

    1. 常数阶 O(1)

    2. 对数阶 O(log2n)

    3. 线性阶 O(n)

    4. 线性对数阶 O(nlog2n)

    5. 平方阶 O(n^2)

    6. 立方阶 O(n^3)

    7. k 次方阶 O(n^k)

    8. 指数阶 O(2^n)

    常见的时间复杂度对应的图:

    在这里插入图片描述

    说明：

    • 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n^3)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2^n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
    • 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

    1）常数阶 O(1)

    无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
    在这里插入图片描述
    上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

    2) 对数阶 O(log2n)

    在这里插入图片描述

    说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .
    在这里插入图片描述

    3) 线性阶 O(n)

    在这里插入图片描述

    说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

    4) 线性对数阶 O(nlogN)

    在这里插入图片描述

    说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

    5) 平方阶 O(n²)

    在这里插入图片描述

    说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

    6) 立方阶 O(n³)、K 次方阶 O(n^k)

    说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

    3.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

    1）平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

    2） 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

    3）平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

    在这里插入图片描述

    4 算法的空间复杂度简介

    4.1 基本介绍

    1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。

    2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况

    3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.


    5 冒泡排

    5.1 基本介绍

    冒泡排序（Bubble Sorting）的基本思想是：通过对待排序序列从前向后（从下标较小的元素开始），依次比较相邻元素的值，若发现逆序则交换，使值较大的元素逐渐从前移向后部，就象水底下的气泡一样逐渐向上冒。

    优化：
    因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置一个标志 flag 判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。(这里说的优化，可以在冒泡排序写好后，在进行)

    5.2 演示冒泡过程的例子(图解)

    在这里插入图片描述

    小结上面的图解过程:
    (1) 一共进行 数组的大小-1 次 大的循环
    (2)每一趟排序的次数在逐渐的减少
    (3) 如果我们发现在某趟排序中，没有发生一次交换， 可以提前结束冒泡排序。这个就是优化

    5.3 冒泡排序应用实

    我们举一个具体的案例来说明冒泡法。我们将五个无序的数：3, 9, -1, 10, -2 使用冒泡排序法将其排成一个从小到大的有序数列。

    代码实现:

    public class BubbleSort {
    public static void main(String[] args) {
        //int arr[] = {3, 9, -1, 10, -2};
        //int arr[] = {2, 4, 6, 10, 12};
		//System.out.println("排序前:" + Arrays.toString(arr));

/*
        //为了容量理解，我们把冒泡排序的演变过程，给大家展示
        // 第一趟排序，就是将最大的数排在最后
        int temp;//临时变量
        for (int j = 0; j < arr.length - 1; j++) {
            // 如果前面的数比后面的数大，则交换
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
        System.out.println("第一趟排序后的数组:" + Arrays.toString(arr));//[3, -1, 9, -2, 10]
        // 第二趟排序，就是将第二大的数排在倒数第二位
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 1 ; j++) {
            // 如果前面的数比后面的数大，则交换
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
        System.out.println("第二趟排序后的数组:" + Arrays.toString(arr));//[-1, 3, -2, 9, 10]
        // 第三趟排序，就是将第三大的数排在倒数第三位
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 2; j++) {
            // 如果前面的数比后面的数大，则交换
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
        System.out.println("第三趟排序后的数组:" + Arrays.toString(arr));//[-1, -2, 3, 9, 10]
        // 第四趟排序，就是将第4大的数排在倒数第4位
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 3; j++) {
            // 如果前面的数比后面的数大，则交换
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
        System.out.println("第四趟排序后的数组:" + Arrays.toString(arr));//[-2, -1, 3, 9, 10]
*/


        //测试一下冒泡排序的速度O(n^2), 给80000个数据，测试
        //创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[80000];
        for(int i =0; i < 80000;i++) {
            arr[i] = (int)(Math.random() * 8000000); //生成一个[0, 8000000) 数
        }
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

        //测试冒泡排序
        bubbleSort(arr);

        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);

        //System.out.println("冒泡排序算法后的数组:" + Arrays.toString(arr));
    }

    // 将前面的冒泡排序算法，封装成一个方法
    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        // 冒泡排序 的时间复杂度 O(n^2), 自己写出
        int temp = 0; // 临时变量
        boolean flag = false; // 标识变量，表示是否进行过交换
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
                // 如果前面的数比后面的数大，则交换
                if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                    flag = true;
                    temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 1];
                    arr[j + 1] = temp;
                }
            }
//            System.out.println("第" + (i + 1) + "趟排序后的数组");
//            System.out.println(Arrays.toString(arr));

            if (!flag) { // 在一趟排序中，一次交换都没有发生过
                break;
            } else {
                flag = false; // 重置flag!!!, 进行下次判断
            }
        }
    }
}

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    6 选择排序

    6.1 基本介绍

    选择式排序也属于内部排序法，是从欲排序的数据中，按指定的规则选出某一元素，再依规定交换位置后达到排序的目的。

    6.2 选择排序思想

    选择排序（select sorting）也是一种简单的排序方法。它的基本思想是：第一次从 arr[0]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[0]交换，第二次从 arr[1]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[1]交换，第三次从 arr[2]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[2]交换，…，第 i 次从 arr[i-1]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[i-1]交换，…, 第 n-1 次从 arr[n-2]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[n-2]交换，总共通过 n-1 次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。

    6.3 选择排序思路分析图

    在这里插入图片描述

    对一个数组的选择排序再进行讲解

    在这里插入图片描述

    6.4 选择排序应用实例

    有一群牛 , 颜值分别是 101, 34, 119, 1 请使用选择排序从低到高进行排序 [101, 34, 119, 1]

    在这里插入图片描述

    代码实现

    //选择排序
public class SelectSort {
    public static void main(String[] args) {
//    	int [] arr = {101, 34, 119, 1};
//		System.out.println("排序前:" + Arrays.toString(arr));
//		selectSort(arr);
//		System.out.println("排序后:" + Arrays.toString(arr));

		//创建要给80000个的随机的数组
		int[] arr = new int[80000];
		for (int i = 0; i < 80000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
		}
		
		Date data1 = new Date();
		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

		selectSort(arr);

		Date data2 = new Date();
		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
		System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    }

    //选择排序
    public static void selectSort(int[] arr) {
        //在推导的过程，我们发现了规律，因此，可以使用for来解决
        //选择排序时间复杂度是 O(n^2)
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            int min = arr[i];
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小
                    min = arr[j]; // 重置min
                    minIndex = j; // 重置minIndex
                }
            }

            // 将最小值，放在arr[0], 即交换
            if (minIndex != i) {
                arr[minIndex] = arr[i];
                arr[i] = min;
            }
            //System.out.println("第"+(i+1)+"轮后:" + Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101
        }


		/*//使用逐步推导的方式来，讲解选择排序
		//第1轮
		//原始的数组 ： 	101, 34, 119, 1
		//第一轮排序 :   	1, 34, 119, 101
		//算法 先简单--》 做复杂， 就是可以把一个复杂的算法，拆分成简单的问题-》逐步解决

		//第1轮
		int minIndex = 0;//假定最小索引
		int min = arr[0];//假定最小值
		for(int j = 0 + 1; j < arr.length; j++) {
			if (min > arr[j]) { //说明假定的最小值，并不是最小
				min = arr[j]; //重置min
				minIndex = j; //重置minIndex
			}
		}
		//将最小值，放在arr[0], 即交换
		if(minIndex != 0) {
			arr[minIndex] = arr[0];
			arr[0] = min;
		}
		System.out.println("第1轮后的数组:" + Arrays.toString(arr));//1, 34, 119, 101

		//第2轮
		minIndex = 1;
		min = arr[1];
		for (int j = 1 + 1; j < arr.length; j++) {
			if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小
				min = arr[j]; // 重置min
				minIndex = j; // 重置minIndex
			}
		}
		// 将最小值，放在arr[0], 即交换
		if(minIndex != 1) {
			arr[minIndex] = arr[1];
			arr[1] = min;
		}
		System.out.println("第2轮后:" + Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101

		//第3轮
		minIndex = 2;
		min = arr[2];
		for (int j = 2 + 1; j < arr.length; j++) {
			if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小
				min = arr[j]; // 重置min
				minIndex = j; // 重置minIndex
			}
		}
		// 将最小值，放在arr[0], 即交换
		if (minIndex != 2) {
			arr[minIndex] = arr[2];
			arr[2] = min;
		}
		System.out.println("第3轮后:" + Arrays.toString(arr));// 1, 34, 101, 119*/
    }
}

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    7 插入排序

    7.1 插入排序法介绍

    插入式排序属于内部排序法，是对于欲排序的元素以插入的方式找寻该元素的适当位置，以达到排序的目的。

    7.2 插入排序法思想

    插入排序（Insertion Sorting）的基本思想是：把 n 个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有 n-1 个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，把它的排序码依次与有序表元素的排序码进行比较，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表。

    7.3 插入排序思路图

    在这里插入图片描述

    7.4 插入排序法应用实例

    有一群小牛, 考试成绩分别是 101, 34, 119, 1 请从小到大排

    代码实现

    public class InsertSort {
    public static void main(String[] args) {
//        int[] arr = {101, 34, 119, 1};
//        System.out.println("排序前:" + Arrays.toString(arr));
//        insertSort(arr);
		//System.out.println("排序后:" + Arrays.toString(arr));

		//创建要给80000个的随机的数组
		int[] arr = new int[80000];
		for (int i = 0; i < 80000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
		}

		Date data1 = new Date();
		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

		insertSort(arr);

		Date data2 = new Date();
		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
		System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    }

    //插入排序
    public static void insertSort(int[] arr) {
        int insertVal = 0;
        int insertIndex = 0;
        //使用for循环来把代码简化
        for(int i = 1; i < arr.length; i++) {
            //定义待插入的数
            insertVal = arr[i];
            insertIndex = i - 1; // 即arr[1]的前面这个数的下标

            // 给insertVal 找到插入的位置
            // 说明
            // 1. insertIndex >= 0 保证在给insertVal 找插入位置，不越界
            // 2. insertVal < arr[insertIndex] 待插入的数，还没有找到插入位置
            // 3. 就需要将 arr[insertIndex] 后移
            while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]) {
                arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];// arr[insertIndex]
                insertIndex--;
            }
            // 当退出while循环时，说明插入的位置找到, insertIndex + 1
            // 举例：理解不了，我们一会 debug
            //这里我们判断是否需要赋值
            if(insertIndex + 1 != i) {
                arr[insertIndex + 1] = insertVal;
            }

            //System.out.println("第"+i+"轮插入:" + Arrays.toString(arr));
        }

/*
		//使用逐步推导的方式来讲解，便利理解
		//第1轮 {101, 34, 119, 1};  => {34, 101, 119, 1}

		//{101, 34, 119, 1}; => {101,101,119,1}
		//定义待插入的数
		int insertVal = arr[1];
		int insertIndex = 1 - 1; //即arr[1]的前面这个数的下标

		//给insertVal 找到插入的位置
		//说明
		//1. insertIndex >= 0 保证在给insertVal 找插入位置，不越界
		//2. insertVal < arr[insertIndex] 待插入的数，还没有找到插入位置
		//3. 就需要将 arr[insertIndex] 后移
		while(insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex] ) {
			arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];// arr[insertIndex]
			insertIndex--;
		}
		//当退出while循环时，说明插入的位置找到, insertIndex + 1
		//举例：理解不了，我们一会 debug
		arr[insertIndex + 1] = insertVal;
		System.out.println("第1轮插入:" + Arrays.toString(arr));

		//第2轮
		insertVal = arr[2];
		insertIndex = 2 - 1;
		while(insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex] ) {
			arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];// arr[insertIndex]
			insertIndex--;
		}
		arr[insertIndex + 1] = insertVal;
		System.out.println("第2轮插入:" + Arrays.toString(arr));

		//第3轮
		insertVal = arr[3];
		insertIndex = 3 - 1;
		while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]) {
			arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];// arr[insertIndex]
			insertIndex--;
		}
		arr[insertIndex + 1] = insertVal;
		System.out.println("第3轮插入:" + Arrays.toString(arr));*/
    }

}


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    8 希尔排序

    8.1 简单插入排序存在的问题

    我们看简单的插入排序可能存在的问题

    数组 arr = {2,3,4,5,6,1} 这时需要插入的数 1(最小), 这样的过程是：

    {2,3,4,5,6,6}
{2,3,4,5,5,6}
{2,3,4,4,5,6}
{2,3,3,4,5,6}
{2,2,3,4,5,6}
{1,2,3,4,5,6}

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    结论: 当需要插入的数是较小的数时，后移的次数明显增多，对效率有影响.

    8.2 希尔排序法介绍

    希尔排序是希尔（Donald Shell）于 1959 年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序。

    8.3 希尔排序法基本思想

    希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至 1 时，整个文件恰被分成一组，算法便终止

    8.4 希尔排序法的示意图

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    8.5 希尔排序法应用实例

    有一群小牛, 考试成绩分别是 {8,9,1,7,2,3,5,4,6,0} 请从小到大排序. 请分别使用

    1）希尔排序时， 对有序序列在插入时采用交换法, 并测试排序速度【慢】.

    2）希尔排序时， 对有序序列在插入时采用移动法, 并测试排序速度【快】.

    3） 代码实现

    public class ShellSort {
    public static void main(String[] args) {
//        int[] arr = { 8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0 };
//        System.out.println("排序前=" + Arrays.toString(arr));
//        shellSort(arr);

        // 创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[8000000];
        for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
        }

        System.out.println("排序前");
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

        //shellSort(arr); //交换式
        shellSort2(arr);//移位方式

        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    }

    // 使用逐步推导的方式来编写希尔排序
    // 希尔排序时， 对有序序列在插入时采用交换法,
    // 思路(算法) ===> 代码
    public static void shellSort(int[] arr) {
        int temp = 0;
        int count = 0;
        // 根据前面的逐步分析，使用循环处理
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                // 遍历各组中所有的元素(共gap组，每组有个元素), 步长gap
                for (int j = i - gap; j >= 0; j -= gap) {
                    // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
                    if (arr[j] > arr[j + gap]) {
                        temp = arr[j];
                        arr[j] = arr[j + gap];
                        arr[j + gap] = temp;
                    }
                }
            }
            //System.out.println("希尔排序第" + (++count) + "轮 =" + Arrays.toString(arr));
        }

        /*
        // 希尔排序的第1轮排序
        // 因为第1轮排序，是将10个数据分成了 5组
        for (int i = 5; i < arr.length; i++) {
            // 遍历各组中所有的元素(共5组，每组有2个元素), 步长5
            for (int j = i - 5; j >= 0 ; j -= 5) {
                // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
                if(arr[j] > arr[j + 5]){
                    temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 5];
                    arr[j + 5] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("希尔排序1轮后=" + Arrays.toString(arr));//[3, 5, 1, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]

        // 希尔排序的第2轮排序
        // 因为第2轮排序，是将10个数据分成了 5/2 = 2组
        for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
            // 遍历各组中所有的元素(共5组，每组有2个元素), 步长5
            for (int j = i - 2; j >= 0 ; j -= 2) {
                // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
                if(arr[j] > arr[j + 2]){
                    temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 2];
                    arr[j + 2] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("希尔排序2轮后=" + Arrays.toString(arr));//[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]

        // 希尔排序的第3轮排序
        // 因为第3轮排序，是将10个数据分成了 2/2 = 1组
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            // 遍历各组中所有的元素(共5组，每组有2个元素), 步长5
            for (int j = i - 1; j >= 0; j -= 1) {
                // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
                if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                    temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 1];
                    arr[j + 1] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("希尔排序3轮后=" + Arrays.toString(arr));//[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
        */
    }

    //对交换式的希尔排序进行优化->移位法
    public static void shellSort2(int[] arr) {
        // 增量gap, 并逐步的缩小增量
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            // 从第gap个元素，逐个对其所在的组进行直接插入排序
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                int j = i;
                int temp = arr[j];
                if (arr[j] < arr[j - gap]) {
                    while (j - gap >= 0 && temp < arr[j - gap]) {
                        //移动
                        arr[j] = arr[j-gap];
                        j -= gap;
                    }
                    //当退出while后，就给temp找到插入的位置
                    arr[j] = temp;
                }
            }
        }
    }
}

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    9 快速排序

    9.1 快速排序法介绍

    快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列

    9.2 快速排序法示意图

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    9.3 快速排序法应用实例

    要求: 对 [-9,78,0,23,-567,70] 进行从小到大的排序，要求使用快速排序法。【测试 8w 和 800w】

    说明[验证分析]:

    1）如果取消左右递归，结果是 -9 -567 0 23 78 70

    2） 如果取消右递归,结果是 -567 -9 0 23 78 70

    3）如果取消左递归,结果是 -9 -567 0 23 70 78

    4）代码实现

    public class QuickSort {
    public static void main(String[] args) {
//        int[] arr = {-9,78,0,23,-567,70};
//        quickSort(arr, 0, arr.length-1);

        //测试快排的执行速度
        // 创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[8000000];
        for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
        }

        System.out.println("排序前");
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

        quickSort(arr, 0, arr.length-1);

        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);

        //System.out.println("arr=" + Arrays.toString(arr));
    }

    public static void quickSort(int[] arr,int left, int right) {
        int l = left; //左下标
        int r = right; //右下标
        //pivot 中轴值
        int pivot = arr[(left + right) / 2];
        int temp = 0; //临时变量，作为交换时使用
        //while循环的目的是让比pivot 值小放到左边
        //比pivot 值大放到右边
        while( l < r) {
            //在pivot的左边一直找,找到大于等于pivot值,才退出
            while( arr[l] < pivot) {
                l += 1;
            }
            //在pivot的右边一直找,找到小于等于pivot值,才退出
            while(arr[r] > pivot) {
                r -= 1;
            }
            //如果l >= r说明pivot 的左右两的值，已经按照左边全部是
            //小于等于pivot值，右边全部是大于等于pivot值
            if( l >= r) {
                break;
            }

            //交换
            temp = arr[l];
            arr[l] = arr[r];
            arr[r] = temp;

            //如果交换完后，发现这个arr[l] == pivot值 相等 r--， 前移
            if(arr[l] == pivot) {
                r -= 1;
            }
            //如果交换完后，发现这个arr[r] == pivot值 相等 l++， 后移
            if(arr[r] == pivot) {
                l += 1;
            }
        }

        // 如果 l == r, 必须l++, r--, 否则为出现栈溢出
        if (l == r) {
            l += 1;
            r -= 1;
        }
        //向左递归
        if(left < r) {
            quickSort(arr, left, r);
        }
        //向右递归
        if(right > l) {
            quickSort(arr, l, right);
        }
    }
}

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    10 归并排序

    10.1 归并排序介绍

    归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案"修
    补"在一起，即分而治之)。

    10.2 归并排序思想示意图 1-基本思想

    在这里插入图片描述

    说明:
    可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，本文的归并排序我们采用递归去实现（也可采用迭代的方式去实现）。分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程。

    10.3 归并排序思想示意图 2-合并相邻有序子序列

    再来看看治阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，来看下实现步骤

    在这里插入图片描述

    10.4 归并排序的应用实例

    给你一个数组, val arr = Array(8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2 ), 请使用归并排序完成排序。

    代码演示：

    public class MergetSort {
    public static void main(String[] args) {
//        int arr[] = { 8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2 };
//        System.out.println("排序前=" + Arrays.toString(arr));
//        int temp[] = new int[arr.length]; //归并排序需要一个额外空间
//        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1, temp);

        //测试快排的执行速度
        // 创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[8000000];
        for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
        }
        System.out.println("排序前");
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

        int temp[] = new int[arr.length]; //归并排序需要一个额外空间
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1, temp);

        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);

        //System.out.println("归并排序后=" + Arrays.toString(arr));
    }

    //分+合方法
    public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if(left < right) {
            int mid = (left + right) / 2; //中间索引
            //向左递归进行分解
            mergeSort(arr, left, mid, temp);
            //向右递归进行分解
            mergeSort(arr, mid + 1, right, temp);
            //合并
            merge(arr, left, mid, right, temp);
        }
    }

    /**
     * 合并的方法
     * @param arr 排序的原始数组
     * @param left 左边有序序列的初始索引
     * @param mid 中间索引
     * @param right 右边索引
     * @param temp 做中转的数组
     */
    public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left; // 初始化i, 左边有序序列的初始索引
        int j = mid + 1; //初始化j, 右边有序序列的初始索引
        int t = 0; // 指向temp数组的当前索引

        //(一)
        //先把左右两边(有序)的数据按照规则填充到temp数组
        //直到左右两边的有序序列，有一边处理完毕为止
        while (i <= mid && j <= right) {//继续
            //如果左边的有序序列的当前元素，小于等于右边有序序列的当前元素
            //即将左边的当前元素，填充到 temp数组
            //然后 t++, i++
            if(arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t] = arr[i];
                t += 1;
                i += 1;
            } else { //反之,将右边有序序列的当前元素，填充到temp数组
                temp[t] = arr[j];
                t += 1;
                j += 1;
            }
        }

        //(二)
        //把有剩余数据的一边的数据依次全部填充到temp
        while( i <= mid) { //左边的有序序列还有剩余的元素，就全部填充到temp
            temp[t] = arr[i];
            t += 1;
            i += 1;
        }
        while( j <= right) { //右边的有序序列还有剩余的元素，就全部填充到temp
            temp[t] = arr[j];
            t += 1;
            j += 1;
        }

        //(三)
        //将temp数组的元素拷贝到arr
        //注意，并不是每次都拷贝所有
        t = 0;
        int tempLeft = left; //
        //第一次合并 tempLeft = 0 , right = 1 //  tempLeft = 2  right = 3 // tL=0 ri=3
        //最后一次 tempLeft = 0  right = 7
       // System.out.println("tempLeft=" + tempLeft + " right=" + right);
        while(tempLeft <= right) {
            arr[tempLeft] = temp[t];
            t += 1;
            tempLeft += 1;
        }
    }
}

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    11 基数排序

    11.1 基数排序(桶排序)介绍

    1. 基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），又称“桶子法”（bucket sort）或 bin sort，顾名思义，它是通过键值的各个位的值，将要排序的元素分配至某些“桶”中，达到排序的作用

    2. 基数排序法是属于稳定性的排序，基数排序法的是效率高的稳定性排序法

    3. 基数排序(Radix Sort)是桶排序的扩展

    4. 基数排序是 1887 年赫尔曼·何乐礼发明的。它是这样实现的：将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。

    11.2 基数排序基本思想

    1. 将所有待比较数值统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。

    2. 这样说明，比较难理解，下面我们看一个图文解释，理解基数排序的步骤

    11.3 基数排序图文说明

    将数组 {53, 3, 542, 748, 14, 214} 使用基数排序, 进行升序排序

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    11.4 基数排序代码实现

    要求：将数组 {53, 3, 542, 748, 14, 214} 使用基数排序, 进行升序排序

    1） 思路分析：前面的图文已经讲明确

    2）代码实现：

    public class RadixSort {
    public static void main(String[] args) {
//        int arr[] = { 53, 3, 542, 748, 14, 214};
//        System.out.println("排序前:" + Arrays.toString(arr));
//        radixSort(arr);

        // 80000000 * 11 * 4 / 1024 / 1024 / 1024 =3.3G
		int[] arr = new int[8000000];
		for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
		}
        System.out.println("排序前");
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

        radixSort(arr);

        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    }
    
    //基数排序方法
    public static void radixSort(int[] arr) {

        //定义一个二维数组，表示10个桶, 每个桶就是一个一维数组
        //说明
        //1. 二维数组包含10个一维数组
        //2. 为了防止在放入数的时候，数据溢出，则每个一维数组(桶)，大小定为arr.length
        //3. 很明确，基数排序是使用空间换时间的经典算法
        int[][] bucket = new int[10][arr.length];

        //为了记录每个桶中，实际存放了多少个数据,我们定义一个一维数组来记录各个桶的每次放入的数据个数
        //可以这里理解
        //比如：bucketElementCounts[0] , 记录的就是  bucket[0] 桶的放入数据个数
        int[] bucketElementCounts = new int[10];

        //根据下面面的推导过程，我们可以得到最终的基数排序代码
        //1. 得到数组中最大的数的位数
        int max = arr[0]; //假设第一数就是最大数
        for(int i = 1; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] > max) {
                max = arr[i];
            }
        }
        //得到最大数是几位数
        int maxLength = (max + "").length();

        //这里我们使用循环将代码处理
        for(int i = 0 , n = 1; i < maxLength; i++, n *= 10) {
            //(针对每个元素的对应位进行排序处理)， 第一次是个位，第二次是十位，第三次是百位..
            for(int j = 0; j < arr.length; j++) {
                //取出每个元素的对应位的值
                int digitOfElement = arr[j] / n % 10;
                //放入到对应的桶中
                bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
                bucketElementCounts[digitOfElement]++;
            }
            //按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
            int index = 0;
            //遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
            for(int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
                //如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
                if(bucketElementCounts[k] != 0) {
                    //循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
                    for(int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                        //取出元素放入到arr
                        arr[index++] = bucket[k][l];
                    }
                }
                //第i+1轮处理后，需要将每个 bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
                bucketElementCounts[k] = 0;
            }
//            System.out.println("第"+(i+1)+"轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));
        }


/*        //第1轮(针对每个元素的个位进行排序处理)
        for(int j = 0; j < arr.length; j++) {
            //取出每个元素的个位的值
            int digitOfElement = arr[j] / 1 % 10;
            //放入到对应的桶中
            bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
            bucketElementCounts[digitOfElement]++;
        }
        //按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
        int index = 0;
        //遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
        for(int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
            //如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
            if(bucketElementCounts[k] != 0) {
                //循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
                for(int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                    //取出元素放入到arr
                    arr[index++] = bucket[k][l];
                }
            }
            //第l轮处理后，需要将每个 bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
            bucketElementCounts[k] = 0;

        }
        System.out.println("第1轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));


        //==========================================

        //第2轮(针对每个元素的十位进行排序处理)
        for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
            // 取出每个元素的十位的值
            int digitOfElement = arr[j] / 10  % 10; //748 / 10 => 74 % 10 => 4
            // 放入到对应的桶中
            bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
            bucketElementCounts[digitOfElement]++;
        }
        // 按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
        index = 0;
        // 遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
        for (int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
            // 如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
            if (bucketElementCounts[k] != 0) {
                // 循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
                for (int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                    // 取出元素放入到arr
                    arr[index++] = bucket[k][l];
                }
            }
            //第2轮处理后，需要将每个 bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
            bucketElementCounts[k] = 0;
        }
        System.out.println("第2轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));


        //第3轮(针对每个元素的百位进行排序处理)
        for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
            // 取出每个元素的百位的值
            int digitOfElement = arr[j] / 100 % 10; // 748 / 100 => 7 % 10 = 7
            // 放入到对应的桶中
            bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
            bucketElementCounts[digitOfElement]++;
        }
        // 按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
        index = 0;
        // 遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
        for (int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
            // 如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
            if (bucketElementCounts[k] != 0) {
                // 循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
                for (int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                    // 取出元素放入到arr
                    arr[index++] = bucket[k][l];
                }
            }
            //第3轮处理后，需要将每个 bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
            bucketElementCounts[k] = 0;
        }
        System.out.println("第3轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));*/
    }
}


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    11.5 基数排序的说明

    1. 基数排序是对传统桶排序的扩展，速度很快.

    2. 基数排序是经典的空间换时间的方式，占用内存很大, 当对海量数据排序时，容易造成 OutOfMemoryError 。

    3. 基数排序时稳定的。[注:假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且 r[i]在 r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在 r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的]

    4. 有负数的数组，我们不用基数排序来进行排序


    12 常用排序算法总结和对比

    12.1 一张排序算法的比较图

    在这里插入图片描述

    12.2 相关术语解释

    1. 稳定：如果 a 原本在 b 前面，而 a=b，排序之后 a 仍然在 b 的前面；

    2. 不稳定：如果 a 原本在 b 的前面，而 a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面；

    3. 内排序：所有排序操作都在内存中完成；

    4. 外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行；

    5. 时间复杂度： 一个算法执行所耗费的时间。

    6. 空间复杂度：运行完一个程序所需内存的大小。

    7. n: 数据规模

    8. k: “桶”的个数

    9. In-place: 不占用额外内存

    10. Out-place: 占用额外内存



    第八章 查找算法

    1 查找算法介绍

    在 java 中，我们常用的查找有四种:

    • 顺序(线性)查找
    • 二分查找/折半查找
    • 插值查找
    • 斐波那契查找

    2 线性查找算法

    有一个数列： {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，判断数列中是否包含此名称【顺序查找】 要求: 如果找到了，就提示找到，并给出下标值。

    代码实现：

    public class SeqSearch {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 没有顺序的数组
        int index = seqSearch(arr, 11);
        if(index == -1) {
            System.out.println("没有找到到");
        } else {
            System.out.println("找到，下标为=" + index);
        }
    }

    /**
     * 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
     * @param arr
     * @param value
     * @return
     */
    public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
        // 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if(arr[i] == value) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

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    3 二分查找算法

    3.1 二分查找

    请对一个有序数组进行二分查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

    3.2 二分查找算法的思路

    在这里插入图片描述

    3.3 二分查找的代码

    说明：增加了找到所有的满足条件的元素下标:
    课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中，有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的 1000

    //注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };
//        int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 11);
//		System.out.println("resIndex=" + resIndex);

//        int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 13,14,15,16,17,18,19,20 };
        List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
        System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
    }

    /**
     * 二分查找算法
     *
     * @param arr 数组
     * @param left 左边的索引
     * @param right 右边的索引
     * @param findVal 要查找的值
     * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
     */
    public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return -1;
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {
            return mid;
        }
    }

    //完成一个课后思考题:
    /*
     * 课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中，
     * 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的 1000
     *
     * 思路分析
     * 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
     * 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
     * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
     * 4. 将Arraylist返回
     */
    public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        System.out.println("hello~");
        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return new ArrayList<Integer>();
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {
//			 * 思路分析
//			 * 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
//			 * 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
//			 * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
//			 * 4. 将Arraylist返回
            List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
            //向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            int temp = mid - 1;
            while(true) {
                if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {//退出
                    break;
                }
                //否则，就temp 放入到 resIndexlist
                resIndexlist.add(temp);
                temp -= 1; //temp左移
            }
            resIndexlist.add(mid);  //

            //向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            temp = mid + 1;
            while(true) {
                if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {//退出
                    break;
                }
                //否则，就temp 放入到 resIndexlist
                resIndexlist.add(temp);
                temp += 1; //temp右移
            }
            return resIndexlist;
        }
    }
}

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    4 插值查找算法

    插值查找原理介绍:

    1）插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

    2）将折半查找中的求 mid 索引的公式 , low 表示左边索引 left, high 表示右边索引 right。key 就是前面我们讲的 findVal

    在这里插入图片描述

    3） int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;/*插值索引*/
    对应前面的代码公式：
    int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])

    4） 举例说明插值查找算法 1-100 的数组

    在这里插入图片描述

    4.1 插值查找应用案例

    请对一个有序数组进行插值查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

    代码实现:

    public class InsertValueSearch {
    public static void main(String[] args) {
//        int [] arr = new int[100];
//		for(int i = 0; i < 100; i++) {
//			arr[i] = i + 1;
//		}

        int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };

        int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
//        int index = binarySearch(arr, 0, arr.length, 1);
        System.out.println("index = " + index);

        //System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        System.out.println("二分查找被调用~");
        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return -1;
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {

            return mid;
        }
    }

    /**
     * 编写插值查找算法
     *      说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
     * @param arr 数组
     * @param left 左边索引
     * @param right 右边索引
     * @param findVal 查找值
     * @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
     */
    public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        System.out.println("插值查找次数~~");
        //注意：findVal < arr[0]  和  findVal > arr[arr.length - 1] 必须需要
        //否则我们得到的 mid 可能越界
        if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
            return -1;
        }

        // 求出mid, 自适应
        int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
        int midVal = arr[mid];
        if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归
            return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找
            return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {
            return mid;
        }
    }
}

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    4.2 插值查找注意事项

    1. 对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找, 速度较快.
    2. 关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半查找要好

    5 斐波那契(黄金分割法)查找算法

    5.1 斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍

    1）黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。

    2） 斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618

    在这里插入图片描述

    5.2 斐波那契(黄金分割法)原理

    斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列），如下图所示

    在这里插入图片描述

    对 F(k-1)-1 的理解：

    1） 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1

    2）类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

    3）但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。

    while(n>fib(k)-1)
	k++;

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    5.3 斐波那契查找应用案例

    请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

    代码实现:

    public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;

    public static void main(String[] args) {
        int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 1234));
    }

    //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    //非递归方法得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    /**
     * 编写斐波那契查找算法
     *      使用非递归的方式编写算法
     * @param a  数组
     * @param key 我们需要查找的关键码(值)
     * @return 返回对应的下标，如果没有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0; //存放mid值
        int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while(high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
        //不足的部分会使用0填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
        //举例:
        //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }

        // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
        while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if(key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                high = mid - 1;
                //为甚是 k--
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                low = mid + 1;
                //为什么是k -=2
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { //找到
                //需要确定，返回的是哪个下标
                if(mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_42469070/article/details/125877187