A
\mathbf A
A有两行相同，则必有
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0 证明：交换相同的两行，行列式的样子不变值也应不变，则通过性质2，
d
e
t
(
A
)
=
−
d
e
t
(
A
)
⇒
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=-det(\mathbf A)\Rightarrow det(\mathbf A)=0
det(A)=−det(A)⇒det(A)=0
矩阵
A
\mathbf A
A不可逆/为奇异矩阵
⟺
\iff
⟺
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0 证明：，那么矩阵
A
\mathbf A
A不可逆一切行列式可以“消元”为上三角阵，若有“主元”为0，这对应了不可逆，也对应了
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0
小结：结合3和5，只要有全零行（存在非零列向量
x
\boldsymbol x
x使
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0），一定不可逆，必有
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0 即使没有全零行，也可推广：只要矩阵列向量线性相关，同样不可逆，有
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0
d
e
t
(
A
B
)
=
d
e
t
(
A
)
d
e
t
(
B
)
det(\mathbf A\mathbf B)=det(\mathbf A)det(\mathbf B)
det(AB)=det(A)det(B) 推论：
d
e
t
(
A
−
1
)
=
d
e
t
(
I
)
/
d
e
t
(
A
)
=
1
/
d
e
t
(
A
)
det(\mathbf A^{-1})=det(\mathbf I)/det(\mathbf A)=1/det(\mathbf A)
det(A−1)=det(I)/det(A)=1/det(A)，注意式子仅当
A
\mathbf A
A可逆时/
d
e
t
(
A
)
≠
0
det(\mathbf A)\neq 0
det(A)=0时成立
d
e
t
(
A
2
)
=
(
d
e
t
(
A
)
)
2
det(\mathbf A^{2})=(det(\mathbf A))^2
det(A2)=(det(A))2，但注意
d
e
t
(
2
A
)
=
2
n
d
e
t
(
A
)
det(2\mathbf A)=2^ndet(\mathbf A)
det(2A)=2ndet(A)（原始性质3①，每行提出倍数）
d
e
t
(
A
T
)
=
d
e
t
(
A
)
det(\mathbf A^{T})=det(\mathbf A)
det(AT)=det(A) 证明：矩阵消元对应LU分解
A
=
L
U
\mathbf{A=LU}
A=LU，则就是要证明
d
e
t
(
U
T
L
T
)
=
d
e
t
(
L
U
)
det(\mathbf U^T \mathbf L^T)=det(\mathbf L \mathbf U)
det(UTLT)=det(LU)，就是证明
d
e
t
(
U
T
)
d
e
t
(
L
T
)
=
d
e
t
(
L
)
d
e
t
(
U
)
det(\mathbf U^T)det(\mathbf L^T)=det(\mathbf L)det(\mathbf U)
det(UT)det(LT)=det(L)det(U)，由于分解后的两个矩阵
L
\mathbf L
L和
U
\mathbf U
U都是三角矩阵，根据上述性质4显然有
d
e
t
(
U
T
)
=
d
e
t
(
U
)
det(\mathbf U^T)=det(\mathbf U)
det(UT)=det(U)、
d
e
t
(
L
T
)
=
d
e
t
(
L
)
det(\mathbf L^T)=det(\mathbf L)
det(LT)=det(L) 推论：上述所有关于“行”的性质，通过转置可以得到对应的“列”的性质，这里不再一一列举