从角度2（多个列向量的线性组合）： 三个列向量线性无关，它们张成整个三维空间，则方程一定有唯一解（将三个列向量视为”基“，那么任意向量在该坐标系下的”坐标“是唯一的）； 三个列向量线性相关，方程可能无解：它们只能张成一个平面/一条线，一旦向量
v
\boldsymbol v
v没有落在它们的张成空间内，方程无解
从角度3（向量的线性变换）：
d
e
t
(
A
)
≠
0
det(\mathbf A)\neq 0
det(A)=0，矩阵
A
\mathbf A
A为可逆矩阵/非奇异矩阵，对应同维度下的线性变换，因此给出变换后的向量，则变换前的向量唯一确定
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0，矩阵
A
\mathbf A
A为不可逆矩阵/奇异矩阵，方程可能无解：矩阵对应降维的线性变换，因此一旦列空间（变换后新的基向量所张成的空间）不包含向量
v
\boldsymbol v
v，方程无解
对于齐次线性方程组
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0
零空间/解空间：线性方程组
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0全体解向量的集合 （有唯一零解时，解空间就是一个点； 解不唯一/有非零解时，系数矩阵对应降维变换，解空间为一条线/一个平面） 基础解系：解空间中的一组基（其中的基向量可以张成整个解空间）
对于n元齐次线性方程组（系数矩阵
A
\mathbf A
A有n列）： ①若
R
a
n
k
(
A
)
=
n
Rank(\mathbf A)=n
Rank(A)=n，有唯一零解 ②若
R
a
n
k
(
A
)
<
n
Rank(\mathbf A)Rank(A)<n，则矩阵对应降维变换，则方程组解空间维度>0（解不唯一/有非零解），且解空间的维度（基础解系中所含的基向量的个数）为
n
−
R
a
n
k
(
A
)
n-Rank(\mathbf A)
n−Rank(A)，且方程的通解（无穷个可能的解）可以由基础解系线性表出
齐次线性方程组
对于齐次线性方程组
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b
核心在于：
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b的一个解 +
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0的一个解 =
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b的一个解 其暗含的意思是： ①若
R
a
n
k
(
A
)
=
n
Rank(\mathbf A)=n
Rank(A)=n，那么
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0有唯一零解，则
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b也只有唯一解 ②若
R
a
n
k
(
A
)
<
n
Rank(\mathbf A)Rank(A)<n，则矩阵对应降维变换，那么
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0有解空间（维度大于零，无穷个非零解），进而
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b的通解=
A
x
=
b
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol b
Ax=b的一个特解 +
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0的基础解系的任意线性组合
注意使用前提：适用于变量和方程数目相等的线性方程组（系数矩阵为方阵） 克拉默法则在使用时并不实用，但提供了另一种思想，本质是通过逆矩阵来求解：
x
⃗
=
A
−
1
v
⃗
\vec x=\mathbf A^{-1}\vec v
x=A−1v
对于线性方程组
A
x
=
v
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol v
Ax=v
当
d
e
t
(
A
)
≠
0
det(\mathbf A)\neq 0
det(A)=0时，方程组有唯一解
(
D
1
D
,
D
2
D
,
.
.
.
,
D
n
D
)
(\frac{D_1}{D},\frac{D_2}{D},...,\frac{D_n}{D})
(DD1,DD2,...,DDn)，其中
D
=
d
e
t
(
A
)
,
D
j
=
d
e
t
(
A
中第
j
列换成常数列
v
，其他元素不变
)
D=det(\mathbf A),D_j=det(\mathbf A中第j列换成常数列\boldsymbol v，其他元素不变)
D=det(A),Dj=det(A中第j列换成常数列v，其他元素不变) 意义：
A
\mathbf A
A是非奇异矩阵/可逆矩阵，对应同维度下的线性变换，因此给出变换后的向量，则变换前的向量唯一确定 特别的，对齐次线性方程组（
v
\boldsymbol v
v为零向量），这个唯一解就是零解
当
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0时，方程组有无穷解 意义：
A
\mathbf A
A的变换导致维度压缩，则解空间就不止一个向量了，可能是一条线/一个平面 特别的，对齐次线性方程组，说明有非零解（不只有唯一的那个零解）