矩阵分析与应用-15-逆矩阵

矩阵分析与应用-15-逆矩阵

逆矩阵的定义与性质

一个n xn矩阵称为非奇异矩阵，若它具有n个线性无关的列向量和n个线性无关的行向量。非奇异矩阵也可以从线性系统的观点出发定义:一线性变换或正方矩阵A称为非奇异的。也就是说若它只对零输入产生零输出。否则，它是奇异的。如果一个矩阵非奇异，那么它必定存在逆矩阵。反之，一奇异矩阵肯定不存在逆矩阵。一个n x n 的正方矩阵B满足时，就称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记为 $A^{-1}$ 。

若一个正方矩阵A的所有元素 $a_{ij}$ 分别由它们的余子式 $A_{ij}$ ,代替，然后转置，所得到的矩阵称为A的伴随矩阵，记作 adj(A)，

$adj(A)=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}& ... & A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} & ... &A_{n2} \\ ... & ...& & ...\\ A_{1n} &A_{2n} &... & A_{nn} \end{bmatrix}$

若行列式det(A)≠0，则矩阵A的逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，并且唯一。逆矩阵 $A^{-1}$ 由下式给出:

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}& ... & A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} & ... &A_{n2} \\ ... & ...& & ...\\ A_{1n} &A_{2n} &... & A_{nn} \end{bmatrix}$

例：

$A\begin{bmatrix} 1 &5 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$

$adj(A)=\begin{bmatrix} 6 &-4 \\ -5& 1 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 6 &-5 \\ -4& 1 \end{bmatrix}$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=\frac{1}{-14}\begin{bmatrix} 6 & -5\\ -4& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{3}{7} & \frac{5}{14} \\ \frac{2}{7}& -\frac{1}{14} \end{bmatrix}$

伴随矩阵具有下面的性质

矩阵 $A_{n \times n}$ 的伴随矩阵 adj(A)的转置等于A的转置的伴随矩阵，即有[。

若矩阵A 的逆矩阵存在，则称矩阵A是非奇异的或可逆的。关于矩阵的非奇异性或可逆性，下列叙述等价。

(1)A非奇异;

(2) $A^{-1}$ 存在;

(3) rank(A) =n;

(4)A的行线性无关;

(5)A 的列线性无关;

(6) det(A)≠ 0;

(7)A的值域的维数是n;

(8)A的零空间的维数是0;

(9)对每一个 $b \in C^n$ 都是一致方程;

(10) 对每一个b有唯一的解;

(11) 只有平凡解.

n ×n 矩阵A 的逆矩阵A—1具有以下性质

n ×n 矩阵A 的逆矩阵 $A^{-1}$ 具有以下性质

(1) $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ 。

(2) $A^{-1}$ 是唯一的。

(3)逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ 。

(4)逆矩阵是非奇异的。

(5) $(A^{-1})^{-1}=A$ 。

(6)复共瓴转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵 $A^{-1}$ 的复共辄转置，即 $(A^H)^{-1}=(A^{-1})^H$ 。逆矩阵的复共辄转置常采用符号 $A^{H}=(A^{-1})^H$ 。

(7)若,则 $(A^{-1})^H=A^{-1}$ 。

(8) $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ 。

(9)如果A和B都是可逆的，则

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

更一般地，有

$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

(10)若A = diag()为对角矩阵，则其逆矩阵

$A^{-1}=diag(a_1^{-1},a_2^{-1},...,a_m^{-1})$

(11)若A非奇异，则

A为正交矩阵 $\Leftrightarrow A^{-1}=A^T$

A为酉矩阵 $\Leftrightarrow A^{-1}=A^H$

矩阵求逆引理

Sherman-Morrison 公式：令A是一个n× n的可逆矩阵，并且 x和y是两个n × 1向量，使得可逆，则

$(A+xy^H)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}xy^HA^{-1}}{1+y^HA^{-1}x}$

矩阵求逆引理可以推广为矩阵之和l的求逆公式

$\begin{matrix} (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB(B+BVA^{-1}UB)^{-1}BVA^{-1}\\ =A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1} \end{matrix}$

或

$(A-UV)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(I-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$

下面是分块矩阵的几种求逆公式。

(1)矩阵A可逆时，为

$\begin{bmatrix} A &U \\ V& D \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} &-A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1} \\ -(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} &(D-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix}$

(2)矩阵A和D可逆时，为

$\begin{bmatrix} A &U \\ V& D \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} (A-UD^{-1}V)^{-1} &-A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1} \\ -D^{-1}V(A-UD^{-1}V)^{-1} &(D-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix}$

(3)矩阵A和D可逆时，为

$\begin{bmatrix} A &U \\ V& D \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} (A-UD^{-1}V)^{-1} &-(A-UD^{-1}V)^{-1}UD^{-1} \\ -(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} &(D-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix}$

或

$\begin{bmatrix} A &U \\ V& D \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} (A-UD^{-1}V)^{-1} &-(V-DU^{-1}A)^{-1} \\ (U-AV^{-1}D)^{-1} &(D-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix}$
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逆矩阵的定义与性质

矩阵求逆引理