贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker

一、贝塞尔曲线递归算法

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一阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + $0$ 个控制点 = $2$ 个点 ) 是一条直线 , 贝塞尔曲线上的点就是直线上的点 ;

二阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + $1$ 个控制点 = $3$ 个点 ) 由 $2$ 条 一阶贝塞尔曲线 确定 ,

三阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + $2$ 个控制点 = $4$ 个点 ) 由 $2$ 条 二阶贝塞尔曲线 确定 ,

四阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + $3$ 个控制点 = $5$ 个点 ) 由 $2$ 条 三阶贝塞尔曲线 确定 ,

$⋮$

$n$阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + $n-1$ 个控制点 = $n+1$ 个点 ) 由 $2$ 条 $n-1$ 阶贝塞尔曲线 确定 ;

贝塞尔曲线递推公式如下 :

P i k = { P i , k = 0 ( 1 − t ) P i k − 1 + t P i + 1 k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯   , n ; i = 0 , 1 , ⋯   , n − k P_i^k = {Pi,k=0(1−t)Pk−1i+tPk−1i+1,k=1,2,⋯,n;i=0,1,⋯,n−k

Pik​={Pi​,k=0(1−t)Pik−1​+tPi+1k−1​,k=1,2,⋯,n;i=0,1,⋯,n−k​

上述公式中 $k+1$ 是贝塞尔曲线的阶数 , $i$ 表示顶点序号 ;

根据上述 贝塞尔曲线递推公式 , 可以得到一个递归算法 , 算法核心公式如下 :

$$p(i,j)=(1-u)\times p(i-1,j)+u\times p(i-1,j-1)$$

上述递推公式中 , $i$ 表示贝塞尔曲线的阶数 , $j$ 表示贝塞尔曲线中的点个数 ( 包含起止点 + 控制点 ) , $u$ 表示比例取值范围 $0$ ~ $1$ ;

递归算法的递归终点是取到第 $0$ 阶 ;

二、贝塞尔曲线递归算法实现

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递归算法中最终的一阶贝塞尔曲线上的点计算公式如下 :

$$p(i,j)=(1-u)\times p(i-1,j)+u\times p(i-1,j-1)$$

根据上述计算公式 , 得到如下代码 :

(1 - u) * mControlPoints.get(j).x + u * mControlPoints.get(j + 1).x
1

完整的贝塞尔曲线上的点坐标算法如下 :

• BezierX 方法用于计算 贝塞尔曲线上的 X 轴坐标点 ;
• BezierY 方法用于计算 贝塞尔曲线上的 Y 轴坐标点 ;

    // 贝塞尔曲线控制点集合
    private ArrayList<PointF> mControlPoints = new ArrayList<>();

    /**
     * 贝塞尔曲线递归算法, 本方法计算 X 轴坐标值
     * @param i 贝塞尔曲线阶数
     * @param j 贝塞尔曲线控制点
     * @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~ 1.0
     * @return
     */
    private float BezierX(int i, int j, float u) {
        if (i == 1) {
            // 递归退出条件 : 贝塞尔曲线阶数 降为一阶
            // 一阶贝塞尔曲线点坐标 计算如下 :
            return (1 - u) * mControlPoints.get(j).x + u * mControlPoints.get(j + 1).x;
        }
        return (1 - u) * BezierX(i - 1, j, u) + u * BezierX(i - 1, j + 1, u);
    }

    /**
     * 贝塞尔曲线递归算法, 本方法计算 Y 轴坐标值
     * @param i 贝塞尔曲线阶数
     * @param j 贝塞尔曲线控制点
     * @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~ 1.0
     * @return
     */
    private float BezierY(int i, int j, float u) {
        if (i == 1) {
            // 递归退出条件 : 贝塞尔曲线阶数 降为一阶
            return (1 - u) * mControlPoints.get(j).y + u * mControlPoints.get(j + 1).y;
        }
        return (1 - u) * BezierY(i - 1, j, u) + u * BezierY(i - 1, j + 1, u);
    }
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