f ′ ( x ) = 1 x − 1 e = e − x x e ，，令 f ′ ( x ) = 0 ，得点 x = e 。 当 0 < x < 3 时， f ′ ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调增加， 当 e < x < + ∞ 时， f ′ ( x ) < 0 ，所以函数 f ( x ) 在 [ e , + ∞ ) 上单调减少， 所以 x = e 是函数 f ( x ) 得极大值，又因驻点唯一，极大值也是最大值， f ( e ) = k > 0 ， 因 lim x → 0 + f ( x ) = − ∞ ， lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ ，所以曲线 l n x − x e + k 与 x 轴有两个交点， 因此，函数 f ( x ) = l n x − x e + k 在 ( 0 , + ∞ ) 内的零点个数为 2 。 f′(x)=1x−1e=e−xxe，，令f′(x)=0，得点x=e。 当0<x<3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, e]上单调增加， 当e<x<+∞时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[e, +∞)上单调减少， 所以x=e是函数f(x)得极大值，又因驻点唯一，极大值也是最大值，f(e)=k>0， 因limx→0+f(x)=−∞，limx→+∞f(x)=−∞，所以曲线ln x−xe+k与x轴有两个交点， 因此，函数f(x)=ln x−xe+k在(0, +∞)内的零点个数为2。 f′(x)=x1−e1=xee−x，，令f′(x)=0，得点x=e。 当0<x<3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, e]上单调增加， 当e<x<+∞时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[e, +∞)上单调减少， 所以x=e是函数f(x)得极大值，又因驻点唯一，极大值也是最大值，f(e)=k>0， 因x→0+limf(x)=−∞，x→+∞limf(x)=−∞，所以曲线ln x−ex+k与x轴有两个交点， 因此，函数f(x)=ln x−ex+k在(0, +∞)内的零点个数为2。
( 1 ) 设在 [ 0 , 1 ] 上 f ′ ′ ( x ) > 0 ，则 f ′ ( 0 ) ， f ′ ( 1 ) ， f ( 1 ) − f ( 0 ) 或 f ( 0 ) − f ( 1 ) 几个数的大小顺序为 ( ) ： ( A ) f ′ ( 1 ) > f ′ ( 0 ) > f ( 1 ) − f ( 0 ) ( B ) f ′ ( 1 ) > f ( 1 ) − f ( 0 ) > f ′ ( 0 ) ( C ) f ( 1 ) − f ( 0 ) > f ′ ( 1 ) > f ′ ( 0 ) ( D ) f ′ ( 1 ) > f ( 0 ) − f ( 1 ) > f ′ ( 0 ) ( 2 ) 设 f ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( x 0 ) = 0 ， f ′ ′ ′ ( x 0 ) > 0 ，则 ( ) . ( A ) f ′ ( x 0 ) 是 f ′ ( x ) 的极大值 ( B ) f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 ( C ) f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值 ( D ) ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点 (1) 设在[0, 1]上f″(x)>0，则f′(0)，f′(1)，f(1)−f(0)或f(0)−f(1)几个数的大小顺序为( )： (A) f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0) (B) f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0) (C) f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0) (D) f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0) (2) 设f′(x0)=f″(x0)=0，f‴(x0)>0，则( ). (A) f′(x0)是f′(x)的极大值 (B) f(x0)是f(x)的极大值 (C) f(x0)是f(x)的极小值 (D) (x0, f(x0))是曲线y=f(x)的拐点 (1) 设在[0, 1]上f′′(x)>0，则f′(0)，f′(1)，f(1)−f(0)或f(0)−f(1)几个数的大小顺序为( )： (A) f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0) (B) f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0) (C) f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0) (D) f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0) (2) 设f′(x0)=f′′(x0)=0，f′′′(x0)>0，则( ). (A) f′(x0)是f′(x)的极大值 (B) f(x0)是f(x)的极大值 (C) f(x0)是f(x)的极小值 (D) (x0, f(x0))是曲线y=f(x)的拐点
( 1 ) 由拉格朗日中值定理可知 f ( 1 ) − f ( 0 ) = f ′ ( ξ ) ，其中 ξ ∈ ( 0 , 1 ) ，因为 f ′ ′ ( x ) > 0 ， f ′ ( x ) 单调增加， 所以， f ′ ( 0 ) < f ′ ( ξ ) < f ′ ( 1 ) ，即 f ′ ( 0 ) < f ( 1 ) − f ( 0 ) < f ′ ( 1 ) ，选 B ( 2 ) 由已知条件和 f ′ ′ ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ′ ′ ( x ) − f ′ ′ ( x 0 ) x − x 0 = lim x → x 0 f ′ ′ ( x ) x − x 0 > 0 可知，在 x 0 某邻域内，当 x < x 0 时， f ′ ′ ( x ) < 0 ， 当 x > x 0 时， f ′ ′ ( x ) > 0 ，所以 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点。选 D . (1) 由拉格朗日中值定理可知f(1)−f(0)=f′(ξ)，其中ξ∈(0, 1)，因为f″(x)>0，f′(x)单调增加， 所以，f′(0)<f′(ξ)<f′(1)，即f′(0)<f(1)−f(0)<f′(1)，选B (2) 由已知条件和f‴(x0)=limx→x0f″(x)−f″(x0)x−x0=limx→x0f″(x)x−x0>0可知，在x0某邻域内，当x<x0时，f″(x)<0， 当x>x0时，f″(x)>0，所以(x0, f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。选D. (1) 由拉格朗日中值定理可知f(1)−f(0)=f′(ξ)，其中ξ∈(0, 1)，因为f′′(x)>0，f′(x)单调增加， 所以，f′(0)<f′(ξ)<f′(1)，即f′(0)<f(1)−f(0)<f′(1)，选B (2) 由已知条件和f′′′(x0)=x→x0limx−x0f′′(x)−f′′(x0)=x→x0limx−x0f′′(x)>0可知，在x0某邻域内，当x<x0时，f′′(x)<0， 当x>x0时，f′′(x)>0，所以(x0, f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。选D.
取 f ( x ) = ∣ x ∣ ，区间为 [ − 1 , 1 ] ，函数 f ( x ) 在 [ − 1 , 1 ] 上连续，在 ( − 1 , 1 ) 内除点 x = 0 外处处可导， 但 f ( x ) 在 ( − 1 , 1 ) 内不存在点 ξ ，使 f ′ ( ξ ) = 0 ，即不存在 ξ ∈ ( − 1 , 1 ) ，使 f ( 1 ) − f ( − 1 ) = f ′ ( ξ ) [ 1 − ( − 1 ) ] 。 取f(x)=|x|，区间为[−1, 1]，函数f(x)在[−1, 1]上连续，在(−1, 1)内除点x=0外处处可导， 但f(x)在(−1, 1)内不存在点ξ，使f′(ξ)=0，即不存在ξ∈(−1, 1)，使f(1)−f(−1)=f′(ξ)[1−(−1)]。 取f(x)=∣x∣，区间为[−1, 1]，函数f(x)在[−1, 1]上连续，在(−1, 1)内除点x=0外处处可导， 但f(x)在(−1, 1)内不存在点ξ，使f′(ξ)=0，即不存在ξ∈(−1, 1)，使f(1)−f(−1)=f′(ξ)[1−(−1)]。
由拉格朗日中值定理可知， f ( x + a ) − f ( x ) = f ′ ( ξ ) a ，因为 ξ 介于 x 与 x + a 之间，当 x → ∞ 时， ξ → ∞ ， 所以， lim x → ∞ [ f ( x + a ) − f ( x ) ] = lim ξ → ∞ f ′ ( ξ ) a = k a 。 由拉格朗日中值定理可知，f(x+a)−f(x)=f′(ξ)a，因为ξ介于x与x+a之间，当x→∞时，ξ→∞， 所以，limx→∞[f(x+a)−f(x)]=limξ→∞f′(ξ)a=ka。 由拉格朗日中值定理可知，f(x+a)−f(x)=f′(ξ)a，因为ξ介于x与x+a之间，当x→∞时，ξ→∞， 所以，x→∞lim[f(x+a)−f(x)]=ξ→∞limf′(ξ)a=ka。
假设 f ( x ) = x 3 − 3 x + a 在 [ 0 , 1 ] 上有两个零点，即存在 x 1 , x 2 ∈ [ 0 , 1 ] ，使 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 0 ，设 x 1 < x 2 ， 函数 f ( x ) 在 [ x 1 , x 2 ] 上连续，在 ( x 1 , x 2 ) 内可导，有罗尔定理可知至少存在一点 ξ ∈ ( x 1 , x 2 ) ⊂ ( 0 , 1 ) ，使 f ′ ( ξ ) = 0 ， 但 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 在 ( 0 , 1 ) 内恒不等于零，所以 f ( x ) = x 3 − 3 x + a 在 [ 0 , 1 ] 上不可能有两个零点 . 假设f(x)=x3−3x+a在[0, 1]上有两个零点，即存在x1,x2∈[0, 1]，使f(x1)=f(x2)=0，设x1<x2， 函数f(x)在[x1, x2]上连续，在(x1, x2)内可导，有罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(x1, x2)⊂(0, 1)，使f′(ξ)=0， 但f′(x)=3x2−3在(0, 1)内恒不等于零，所以f(x)=x3−3x+a在[0, 1]上不可能有两个零点. 假设f(x)=x3−3x+a在[0, 1]上有两个零点，即存在x1,x2∈[0, 1]，使f(x1)=f(x2)=0，设x1<x2， 函数f(x)在[x1, x2]上连续，在(x1, x2)内可导，有罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(x1, x2)⊂(0, 1)，使f′(ξ)=0， 但f′(x)=3x2−3在(0, 1)内恒不等于零，所以f(x)=x3−3x+a在[0, 1]上不可能有两个零点.
设函数 F ( x ) = a 0 + a 1 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n n + 1 ， F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内可导，且 F ( 0 ) = 0 ， F ( 1 ) = a 0 + a 1 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n n + 1 = 0 ，由罗尔定理可知至少存在一点 ξ ∈ ( 0 , 1 ) ，使 F ′ ( ξ ) = 0 ， 则 f ( x ) = F ′ ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n x n 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一个零点 设函数F(x)=a0+a12+⋅⋅⋅+ann+1，F(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且F(0)=0， F(1)=a0+a12+⋅⋅⋅+ann+1=0，由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0, 1)，使F′(ξ)=0， 则f(x)=F′(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn在(0, 1)内至少有一个零点 设函数F(x)=a0+2a1+⋅⋅⋅+n+1an，F(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且F(0)=0， F(1)=a0+2a1+⋅⋅⋅+n+1an=0，由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0, 1)，使F′(ξ)=0， 则f(x)=F′(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn在(0, 1)内至少有一个零点
设 F ( x ) = x f ( x ) ， F ( x ) 在 [ 0 , a ] 上连续，在 ( 0 , a ) 内可导，且 F ( 0 ) = 0 ， F ( a ) = a f ( a ) = 0 ， 由罗尔定理可知至少存在一点 ξ ∈ ( 0 , a ) ，使 F ′ ( ξ ) = [ ξ f ( ξ ) ] ′ = f ( ξ ) + ξ f ′ ( ξ ) = 0 。 设F(x)=xf(x)，F(x)在[0, a]上连续，在(0, a)内可导，且F(0)=0，F(a)=af(a)=0， 由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0, a)，使F′(ξ)=[ξf(ξ)]′=f(ξ)+ξf′(ξ)=0。 设F(x)=xf(x)，F(x)在[0, a]上连续，在(0, a)内可导，且F(0)=0，F(a)=af(a)=0， 由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0, a)，使F′(ξ)=[ξf(ξ)]′=f(ξ)+ξf′(ξ)=0。
设函数 F ( x ) = l n x ， f ( x ) ， F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 F ′ ( x ) = 1 x ≠ 0 ， x ∈ ( a , b ) ， 由柯西中值定理可知至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) ，使 f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) ，即 f ( b ) − f ( a ) l n b − l n a = f ′ ( ξ ) 1 ξ ， f ( b ) − f ( a ) = ξ f ′ ( ξ ) l n b a . 设函数F(x)=ln x，f(x)，F(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且F′(x)=1x≠0，x∈(a, b)， 由柯西中值定理可知至少存在一点ξ∈(a, b)，使f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)，即f(b)−f(a)ln b−ln a=f′(ξ)1ξ， f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ln ba. 设函数F(x)=ln x，f(x)，F(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且F′(x)=x1=0，x∈(a, b)， 由柯西中值定理可知至少存在一点ξ∈(a, b)，使F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)，即ln b−ln af(b)−f(a)=ξ1f′(ξ)， f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ln ab.
要证 x > a 时， ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ < g ( x ) − g ( a ) ，即证 − [ g ( x ) − g ( a ) ] < f ( x ) − f ( a ) < g ( x ) − g ( a ) ， 也就是证 f ( x ) − g ( x ) < f ( a ) − g ( a ) ， f ( x ) + g ( x ) > f ( a ) + g ( a ) 。 设 F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) ， G ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ， x ∈ ( a , + ∞ ) ，由 ∣ f ′ ( x ) ∣ < g ′ ( x ) 可知， f ′ ( x ) − g ′ ( x ) < 0 ， f ′ ( x ) + g ′ ( x ) > 0 ，所以 F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) < 0 ， G ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) > 0 ， 当 x > a 时 F ( x ) 单调减少， G ( x ) 单调增加，因此 F ( x ) < F ( a ) ， G ( x ) > G ( a ) ( x > a ) ， 所以， f ( x ) − g ( x ) < f ( a ) − g ( a ) ， f ( x ) + g ( x ) > f ( a ) + g ( a ) ( x > a ) ， 即当 x > a 时， ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ < g ( x ) − g ( a ) . 要证x>a时，|f(x)−f(a)|<g(x)−g(a)，即证−[g(x)−g(a)]<f(x)−f(a)<g(x)−g(a)， 也就是证f(x)−g(x)<f(a)−g(a)，f(x)+g(x)>f(a)+g(a)。 设F(x)=f(x)−g(x)，G(x)=f(x)+g(x)，x∈(a, +∞)，由|f′(x)|<g′(x)可知， f′(x)−g′(x)<0，f′(x)+g′(x)>0，所以F′(x)=f′(x)−g′(x)<0，G′(x)=f′(x)+g′(x)>0， 当x>a时F(x)单调减少，G(x)单调增加，因此F(x)<F(a)，G(x)>G(a) (x>a)， 所以，f(x)−g(x)<f(a)−g(a)，f(x)+g(x)>f(a)+g(a) (x>a)， 即当x>a时，|f(x)−f(a)|<g(x)−g(a). 要证x>a时，∣f(x)−f(a)∣<g(x)−g(a)，即证−[g(x)−g(a)]<f(x)−f(a)<g(x)−g(a)， 也就是证f(x)−g(x)<f(a)−g(a)，f(x)+g(x)>f(a)+g(a)。 设F(x)=f(x)−g(x)，G(x)=f(x)+g(x)，x∈(a, +∞)，由∣f′(x)∣<g′(x)可知， f′(x)−g′(x)<0，f′(x)+g′(x)>0，所以F′(x)=f′(x)−g′(x)<0，G′(x)=f′(x)+g′(x)>0， 当x>a时F(x)单调减少，G(x)单调增加，因此F(x)<F(a)，G(x)>G(a) (x>a)， 所以，f(x)−g(x)<f(a)−g(a)，f(x)+g(x)>f(a)+g(a) (x>a)， 即当x>a时，∣f(x)−f(a)∣<g(x)−g(a).
( 1 ) lim x → 1 x − x x 1 − x + l n x ； ( 2 ) lim x → 0 [ 1 l n ( 1 + x ) − 1 x ] ； ( 3 ) lim x → + ∞ ( 2 π a r c t a n x ) x ； ( 4 ) lim x → ∞ [ ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) / n ] n x ( 其中 a 1 ， a 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， a n > 0 ) . (1) limx→1x−xx1−x+ln x； (2) limx→0[1ln(1+x)−1x]； (3) limx→+∞(2πarctan x)x； (4) limx→∞[(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)/n]nx (其中a1，a2，⋅⋅⋅，an>0). (1) x→1lim1−x+ln xx−xx； (2) x→0lim[ln(1+x)1−x1]； (3) x→+∞lim(π2arctan x)x； (4) x→∞lim[(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)/n]nx (其中a1，a2，⋅⋅⋅，an>0).
( 1 ) lim x → 1 x − x x 1 − x + l n x = lim x → 1 1 − x x ( 1 + l n x ) − 1 + 1 x = lim x → 1 x x l n x + x x − 1 x − 1 ⋅ x = lim x → 1 ( x x ( l n x + 1 ) l n x + x x − 1 + x x ( l n x + 1 ) ) = 2 ( 2 ) lim x → 0 [ 1 l n ( 1 + x ) − 1 x ] = lim x → 0 x − l n ( 1 + x ) x l n ( 1 + x ) = lim x → 0 x − l n ( 1 + x ) x 2 = lim x → 0 1 − 1 1 + x 2 x = lim x → 0 1 2 ( 1 + x ) = 1 2 ( 3 ) lim x → + ∞ ( 2 π a r c t a n x ) x = e lim x → + ∞ x l n ( 2 π a r c t a n x ) ，因为 lim x → + ∞ x l n ( 2 π a r c t a n x ) = lim x → + ∞ l n 2 π + l n a r c t a n x 1 x = lim x → + ∞ ( 1 a r c t a n x ⋅ − x 2 1 + x 2 ) = − 2 π ，所以 lim x → + ∞ ( 2 π a r c t a n x ) x = e − 2 π ( 4 ) lim x → ∞ [ ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) / n ] n x = e lim x → ∞ n x [ l n ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) − l n n ] ， 因为 lim x → ∞ n x [ l n ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) − l n n ] = n lim x → ∞ l n ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) − l n n 1 x = n lim x → ∞ 1 a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x [ a 1 1 x l n a 1 + a 2 1 x l n a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x l n a n ] ( 1 x ) ′ ( 1 x ) ′ = n ⋅ 1 n ( l n a 1 + l n a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + l n a n ) = l n ( a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ) ，所以 lim x → ∞ [ ( a 1 1 x + a 2 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 x ) / n ] n x = a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n . (1) limx→1x−xx1−x+ln x=limx→11−xx(1+ln x)−1+1x=limx→1xxln x+xx−1x−1⋅x= limx→1(xx(ln x+1)ln x+xx−1+xx(ln x+1))=2 (2) limx→0[1ln(1+x)−1x]=limx→0x−ln(1+x)xln(1+x)=limx→0x−ln(1+x)x2=limx→01−11+x2x= limx→012(1+x)=12 (3) limx→+∞(2πarctan x)x=elimx→+∞xln(2πarctan x)，因为limx→+∞xln(2πarctan x)=limx→+∞ln 2π+lnarctan x1x= limx→+∞(1arctan x⋅−x21+x2)=−2π，所以limx→+∞(2πarctan x)x=e−2π (4) limx→∞[(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)/n]nx=elimx→∞nx[ln(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)−ln n]， 因为limx→∞nx[ln(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)−ln n]=nlimx→∞ln(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)−ln n1x= nlimx→∞1a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn[a1x1ln a1+a1x2ln a2+⋅⋅⋅+a1xnln an](1x)′(1x)′= n⋅1n(ln a1+ln a2+⋅⋅⋅+ln an)=ln(a1a2⋅⋅⋅an)，所以limx→∞[(a1x1+a1x2+⋅⋅⋅+a1xn)/n]nx=a1a2⋅⋅⋅an. (1) x→1lim1−x+ln xx−xx=x→1lim−1+x11−xx(1+ln x)=x→1limx−1xxln x+xx−1⋅x= x→1lim(xx(ln x+1)ln x+xx−1+xx(ln x+1))=2 (2) x→0lim[ln(1+x)1−x1]=x→0limxln(1+x)x−ln(1+x)=x→0limx2x−ln(1+x)=x→0lim2x1−1+x1= x→0lim2(1+x)1=21 (3) x→+∞lim(π2arctan x)x=ex→+∞limxln(π2arctan x)，因为x→+∞limxln(π2arctan x)=x→+∞limx1ln π2+lnarctan x= x→+∞lim(arctan x1⋅1+x2−x2)=−π2，所以x→+∞lim(π2arctan x)x=e−π2 (4) x→∞lim[(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)/n]nx=ex→∞limnx[ln(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)−ln n]， 因为x→∞limnx[ln(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)−ln n]=nx→∞limx1ln(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)−ln n= nx→∞lim(x1)′a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx11[a1x1ln a1+a2x1ln a2+⋅⋅⋅+anx1ln an](x1)′= n⋅n1(ln a1+ln a2+⋅⋅⋅+ln an)=ln(a1a2⋅⋅⋅an)，所以x→∞lim[(a1x1+a2x1+⋅⋅⋅+anx1)/n]nx=a1a2⋅⋅⋅an.