SOM网络1:原理讲解

SOM 介绍

SOM (Self Organizing Maps):自组织映射神经网络，是一种类似于kmeans``的聚类算法，用于寻找数据的聚类中心。它可以将相互关系复杂非线性的高纬数据，映射到具有简单几何结构及相互关系的低纬空间。（低纬映射能够反映高纬特征之间的拓扑结构）

• 自组织映射(Self-organizing map, SOM)通过学习输入空间中的数据，生成一个低维、离散的映射(Map)，从某种程度上也可看成一种降维算法。
• SOM是一种无监督的人工神经网络。不同于一般神经网络基于损失函数的反向传递来训练，它运用竞争学习(competitive learning)策略,依靠神经元之间互相竞争逐步优化网络。且使用近邻关系函数(neighborhood function)来维持输入空间的拓扑结构。
• 由于基于无监督学习,这意味着训练阶段不需要人工介入(即不需要样本标签)，我们可以在不知道类别的情况下，对数据进行聚类；可以识别针对某问题具有内在关联的特征。
• 可以实现数据可视化；聚类；分类；特征抽取等任务

特点归纳

• 神经网络，竞争学习策略
• 无监督学习，不需要额外标签
• 非常适合高维数据的可视化，能够维持输入空间的拓扑结构
• 具有很高的泛化能力，它甚至能识别之前从没遇过的输入样本

网络结构

SOM的网络结构有2层：输入层、输出层(也叫竞争层),。

• 输入层 :包含D个节点，节点数由输入特征的维度决定，跟输入特征维度相同。
• 输出层：通常下将输出层的节点排列层X行Y列的矩阵形式,输出层有X x Y个节点。

网络的特点

• (1) 输出层的每个节点，通过D条权边，与所有样本点D维特征向量相连。,输出层$i,j$ 位置的节点向量：
  $$W_{ij}=[w_{ij0},w_{ij0},...w_{ijD}]$$
  换句话说：输出层$i,j$ 位置的节点可以用一个D维矢量$W_{ij}$来表征`
• (2) 经过训练后，输出层的各个节点之间，按照距离远近具有一定的关联，即离的越近，关联度越高，也可以表述为离的越近两个点，这个两个点的D维矢量的距离会越近。
• (3) 训练的目的:学习X x Y个D维权重$W$，可以将所有的训练的样本(每个样本D维特征向量)映射到输出层的节点上。
  高纬空间(输入)距离近的点，映射到输出层后距离也较近。比如两个样本点比较近都映射到$(i,j)$上，或者映射到$(i,j)$和$(i,j+1)$上。

模型训练过程

• 1 准备训练数据datas：N x D N为样本的数量，D为每个样本的特征向量维度
  通常需要正则化：
  $$datas=\frac{datas-mean(datas)}{std(datas)}$$
• 2.确定参数 $X,Y$ $X=Y=\sqrt{5\sqrt{N}}$ , 向上取整
• 3.权重$W$ 初始化: $W$的维度为(X x Y x D)
• 4.迭代训练
  1） 读取一个样本点 $x$ : [D] # D维
  2） 计算样本$x$ 分别与输出层的 $X\ast Y$个节点计算距离，找到距离最近的点$(i,j)$作为激活点，设其权重$g$为1
  3） 对输出层其他节点，利用其与位置$(i,j)$处的节点距离，计算他们的权重$g$，与$(i,j)$位置距离越近，则权重越大。 完成计算输出层的X*Y节点权重$g$，特点是以$(i,j)$处的权值最大，以其为中心越远越小
  
• 4） 更新输出层所有节点的表征向量：
  $$W=W+\eta \ast g\ast (x-W)$$
  其中$\eta$是学习率，$x-W$表示当前更新的输出层节点与输入样本x的距离，更新节点的表征向量的目的是让节点逼近输入向量$x$

整个SOM映射过程，相当于对输入的N个样本进行聚类映射，比如输入样本$x1$,$x2$,$x3$ 映射为输出节点a, 样本$x4$,$x5$,$x6$映射为输出节点b，则可以用输出节点a来表征样本$x1$,$x2$,$x3$；用输出节点b来表征样本$x4$,$x5$,$x6$

5. 经过多轮迭代，完成了对输出节点表征向量$W$的更新，这些节点的表征向量可以表征输入的样本x （N x D）。相当于把输入样本，映射为(XxYxD)的表征向量$W=w_{1,1},w_{1,2},,,w_{x,y}$

权重初始化 W：[X,Y,D]

权重初始化主要有3种方法：

• 1 随机初始化，然后标准化 $W=\frac{W}{||W||}$
• 2 从训练数据中随机挑选$X\ast Y$个，来初始化权重
• 3 对训练数据进行PCA，取特征值最大的两个特征向量M: D x 2 作为基向量进行映射。

距离计算方式

采用欧式距离计算 ,公式如下：
$$dis=||x-y||$$

计算输出节点的权重g

假设激活点坐标为$(c_X,c_y)$ ,其他位置 $i,j$处的权重g计算主要有两种方法：

• 高斯法

$$g(i,j)=e^{-\frac{(c_x-i{)}^2}{2{\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(c_y-j{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
可以看出到$（i,j）$为激活点$(c_X,c_y)$，计算得到的g=1。权重呈现高斯分布。其中高斯法中的$\sigma$值也会随着迭代步数变化而变化，更新方式跟学习率方式一样，参见后面学习率的更新

• 硬阈值法
  
  这种方法比较直接，以$(c_X,c_y)$为中心一定范围内的g为1，其他为0,；一般都是选择高斯方法

学习率更新

$$\eta =\frac{{\eta }_0}{1+\frac{t}{ma{x}_{step}/2}}$$

其中$t$表示当前的迭代step，$ma{x}_{step}$网络训练总的迭代次数，学习率$\eta$随着迭代次数的增加，会越来越小。