2022牛客暑期多校训练营4（ADHKLMN）

题集链接；

视频题解；

A Task Computing

数学，dp

题意

从 n 个任务中选 m 个并任意排序，每个任务有 $w,p$ 两个属性，求 ${\sum }_{i=1}^m{w}_{a_i}{\prod }_{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}$ 的最大值；

思路

首先考虑排序的过程：
对于两元素 $a_x,a_y$ ，其对答案的贡献为 $R_1={\sum }_{i=1}^{x-1}{w}_{a_i}{\prod }_{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}+w_{a_x}{\prod }_{j=0}^{x-1}{p}_{a_j}+w_{a_y}{p}_{a_x}{\prod }_{j=0}^{x-1}{p}_{a_j}+{\sum }_{i=y+1}^m{w}_{a_i}{\prod }_{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}$ ；
对于两元素 $a_y,a_x$ ，其对答案的贡献为 $R_2={\sum }_{i=1}^{y-1}{w}_{a_i}{\prod }_{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}+w_{a_y}{\prod }_{j=0}^{y-1}{p}_{a_j}+w_{a_x}{p}_{a_y}{\prod }_{j=0}^{y-1}{p}_{a_j}+{\sum }_{i=x+1}^m{w}_{a_i}{\prod }_{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}$ ；

两式做差得（除 $a_x,a_y$ 外，上式x=下式y，上式y=下式x）：
$$(w_{a_x}+w_{a_y}{P}_{a_x}-w_{a_y}-w_{a_x}{P}_{a_y})\prod _{j=0}^{x-1}{p}_{a_j}$$
其中连乘式与顺序无关；
若使 在排序时 x 在 y 前，则依据上式大于等于0构造排序函数即可；

在排序后，逆序DP处理出结果最大的连续 m 个数；
逆序处理是因为逆序处理更容易维护公式的结果；

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
pair<double,double>pii[100005];
double dp[100005][21];
bool cmp(pair<double,double> a,pair<double,double> b)
{
    return a.first+a.second*b.first>=b.first+b.second*a.first;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lf",&pii[i].first);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lf",&pii[i].second);
        pii[i].second/=10000;
    }
    sort(pii,pii+n,cmp);
//     for(int i=0;i
//         printf("%lf %lf\n",pii[i].first,pii[i].second);
    for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j]);
            if (j) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - 1] * pii[i].second + pii[i].first);
            }
        }
    }
    printf("%.10lf",dp[1][m]);
}
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D Jobs (Easy Version)

数据结构

题意

有n家公司，每家公司有 $m_i$ 个岗位，每个岗位对三个能力分别有数值要求，必须三个能力都达标才能获得这个岗位，如果某人获得某公司的任意一个岗位则称该人获得了该公司的工作；
有 q 次询问，由题给代码得出该人的三个能力值，求这个人可以获得多少个公司的工作；

思路

使用三维数组记录；
对于 $need[i][j][k]$ 存储对于第 i 家公司，前两个能力值分别为 j,k 时，第三个能力值所要求的最小值；

对于第 i 个公司接收到的新岗位 $(j,k,l)$ ，则 $need[i][j][k]=\min (need[i][j][k],l)$ ；
在一个公司接收结束后，维护数组（详见代码）；

代码

队友代码如下

#include 

using namespace std;

unsigned seed;

const int M = 998244353;

long long qm(long long a, long long b = M - 2) {
   long long ans = 1;
   for (; b; b >>= 1) {
      if (b & 1) ans = a * ans % M;
      a = a * a % M;
   }
   return ans;
}

int need[10][401][401];

int main() {
   cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);

   int n, q;
   cin >> n >> q;

   memset(need, 0x3f, sizeof(need));

   for (int i = 0; i < n; i++) {
      int k;
      cin >> k;
      while (k--) {
         int a, b, c;
         cin >> a >> b >> c;
         need[i][a][b] = min(need[i][a][b], c);
      }

		for (int a = 1  ; a <= 400 ; a ++ ) {
			for (int b = 1 ; b <= 400 ; b ++ ) {
				need[i][a][b] = min({need[i][a][b], need[i][a][b - 1], need[i][a - 1][b]});
			}
		}
   }

   cin >> seed;

   auto solve = [&](int IQ, int EQ, int AQ) -> int {
      int ans = 0;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
         ans += need[i][IQ][EQ] <= AQ ? 1 : 0;
      }
      return ans;
   };

   std::mt19937 rng(seed);
   std::uniform_int_distribution<> u(1, 400);
   int lastans = 0;
   long long ans = 0;
   for (int i = 1; i <= q; i++) {
      int IQ =
          (u(rng) ^ lastans) % 400 + 1;  // The IQ of the i-th friend
      int EQ =
          (u(rng) ^ lastans) % 400 + 1;  // The EQ of the i-th friend
      int AQ =
          (u(rng) ^ lastans) % 400 + 1;  // The AQ of the i-th friend
      lastans = solve(IQ, EQ, AQ);  // The answer to the i-th friend
      ans += lastans * qm(seed, q - i);
      ans %= M;
   }

   cout << ans << '\n';
}
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H Wall Builder II

贪心

题意

给定 n 个 1*1 的矩形，n-1 个 1*2 的矩形，n-2 个 1*3 的矩形，…，1 个 1*n 的矩形，将这些矩形拼成一个大矩形，求大矩形的最小周长和拼接方案；

思路

首先考虑大矩形形状越接近正方形周长越小，我们从正方形开始寻找整数 $w,h$ 使得 $wh=S$ ；

对于找到的 $w,h$ 使用贪心的策略依次填满每一层即可；
即对于每一层，优先放能放进的最长的，再次放能放进剩余部分的最长的，循环至填满该层；

代码

#include 
using namespace std;
#define int long long
int t;
int n;
struct node
{
    int xl, yl, xr, yr;
    int id;
} block[100005];
bool cmp(node a, node b) { return a.id < b.id; }
signed main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cin >> n;
        multiset<int> mts;
        long long sqr = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            sqr += 1ll * i * (n - i + 1);
        }
        for (int i = n; i >= 1; i--)
        {
            for (int j = 1; j <= (n - i + 1); j++)
            {
                mts.insert(i);
            }
        }
        long long cmx = 100005;
        int h = 0, w = 0;
        for(int i=sqrt(sqr)+1e-5;i;i--)
        {
            if (sqr % i == 0)
            {
                if ((i + (sqr / i)) * 2 <= cmx)
                {
                    h = i;
                    w = sqr / i;
                    cmx = i * 2 + sqr * 2 / i;
                    break;
                }
            }
        }
        printf("%lld\n", cmx);
        int cblk = 0;
        for (int i = 0; i < h; i++)
        {
            long long width = 0;
            while (width != w)
            {
                auto sp = mts.lower_bound(w - width);
                if (sp == mts.end())
                    sp--;
                cblk++;
                block[cblk].xl = width;
                block[cblk].yl = i;
                block[cblk].xr = width + *sp;
                block[cblk].yr = i + 1;
                block[cblk].id = *sp;
                width += *sp;
                mts.erase(sp);
            }
        }
        sort(block + 1, block + cblk + 1, cmp);
        for (int i = 1; i <= cblk; i++)
        {
            printf("%lld %lld %lld %lld\n", block[i].xl, block[i].yl, block[i].xr, block[i].yr);
        }
    }
}
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K NIO’s Sword

数学

题意

初始有一把攻击力为0的剑，需要击杀n个（1~n）敌人，仅当攻击力与 i 在模 n 意义下同余时才能击杀第 i 个敌人，玩家可以升级剑，问最少需要几次升级；
“升级”：对于当前攻击力 x ，升级一次后的攻击力为 $10x+b(b=0,1,2,\dots ,9)$ ；

思路

考虑第 i 关的初始值一定与 i-1 在 n 意义下同余，那么每一关的选择不存在后效性，便可以逐关寻找本关最优解；

对于第 i 关的通关值x，一定满足：
$$\begin{gathered} x=kn+i \\ x\in [10^p(i-1),10^{p}i) \end{gathered}$$
此时的p即为升级次数，若使当前的p最小，则需要找到最小的满足条件的k；
枚举 p ，对于每个 p 计算出满足第一给条件的最小 k ，再代回判断是否满足第二个条件即可；

对于 p,i ，k有
$$k⩾\frac{10^p(i-1)-i}{n}$$

注意对 $n=1$ 的特判，此时答案为 0 ，赛时判瞎了；

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M = 998244353;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll ten[10]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    if(n==1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    int ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int k=1;k<=6;k++)
        {
            ll r=ten[k]*(i-1);
            ll kk=(r-i)/n+((r-i)%n!=0);
            if(kk*n+i<ten[k]*i)
            {
                ans+=k;
                break;
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
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L Black Hole

计算几何、模拟

题意

求边长为a的凸正n面体收缩k次后的面数和边长；
收缩：将原凸体的临面连心线作为棱形成新的凸体；

思路

正n面体只有五种（4，6，8，12，20），并且在收缩过程中有转换关系（$4\to 4,6\to 8,8\to 6,12\to 20,20\to 12$）；

找到（看题解）这五种正n面体边长与连心线长的关系即可模拟；

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M = 998244353;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int n, k;
        double a;
        cin>>n>>a>>k;
        if(n==4||n==6||n==8||n==12||n==20)
        {
            printf("possible ");
            while(k--)
            {
                if(n==4)
                {
                    a=a/3;
                }
                else if(n==6)
                {
                    n=8,a=a/sqrt(2);
                }
                else if(n==8)
                {
                    n=6,a=a*sqrt(2)/3;
                }
                else if(n==12)
                {
                    n=20,a=a*(3*sqrt(5)+5)/10;
                }
                else if(n==20)
                {
                    n=12,a=a*(sqrt(5)+1)/6;
                }
            }
            printf("%d %.8lf\n",n,a);
        }
        else printf("impossible\n");
    }
    return 0;
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M Monotone Chain

计算几何

题意

给定一条折线，求一条有向直线使得折线上各点在其上的投影点是非减的（不与有向直线反向）；

思路

我们考虑若干非零向量：
对于每条向量，有向直线的方向向量必须存在于该向量顺逆时针90°的范围内，即最终方向向量的可行范围是每条向量的可行范围的交集；
由此我们可以维护可行的向量两界，如果最终向量两界合法，则输出任意一界即可；

特判：
若当前可行范围是平角，并且新向量与可行范围对应的向量方向相反，此时可行范围便仅剩方向相反的两条有向直线；
这种情况不太方便使用可行范围两界维护，需要特殊处理，在代码中对应的是bool only;pair oq;两变量所维护；

最开始补题时打算用与x⁺夹角维护，最后在找整数点输出时遇到了问题；

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M = 998244353;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double PI = acos(-1.0);
int sign(double x) // 符号函数
{
    if (fabs(x) < eps)
        return 0;
    if (x < 0)
        return -1;
    return 1;
}
struct Point
{
    double x, y;
    Point(double a = 0, double b = 0) { x = a, y = b; }
    Point operator+(const Point &a) const { return Point(x + a.x, y + a.y); }
    Point operator-(const Point &a) const { return Point(x - a.x, y - a.y); }
    Point operator*(const double &a) const { return Point(x * a, y * a); }
    Point operator/(const double &a) const { return Point(x / a, y / a); }
    bool operator==(const Point &a) const { return !sign(x - a.x) && !sign(y - a.y); }
    bool operator<(const Point &a) const { return (fabs(x - a.x) < eps) ? (y < a.y) : (x < a.x); }
};
double dot(Point a, Point b) { return a.x * b.x + a.y * b.y; }
double cross(Point a, Point b) { return a.x * b.y - b.x * a.y; }
double get_length(Point a) { return sqrt(dot(a, a)); }
double get_angle(Point a, Point b) { return acos(dot(a, b) / get_length(a) / get_length(b)); }
Point p[100005];
int main()
{
    int n;
    bool only = 0, cg = 0;
    int init = 0;
    cin >> n;
    pair<Point, Point> que = {Point(), Point()};
    pair<Point, Point> oq = {Point(), Point()};
    Point bas = Point(PI, PI);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
        if (p[i] == p[i - 1])
            continue;
        if (i >= 2 && !init)
            bas = p[2] - p[1], init = i, que = {Point(bas.y, -bas.x), Point(-bas.y, bas.x)};
        Point tmp = p[i] - p[i - 1];
        Point nowf = Point(tmp.y, -tmp.x), nows = Point(-tmp.y, tmp.x);
        if (init && init != i && !only)
        {
            if (!cg && !sign(fabs(get_angle(tmp, bas)) - PI) )
            {
                only = 1;
                if (que.first == Point(bas.y, -bas.x))
                    oq.first = que.first;
                if (que.second == Point(-bas.y, bas.x))
                    oq.second = que.second;
                cg = 1;
            }
            else
            {
                if (cross(que.second, nows) < 0)
                    que.second = nows;
                if (cross(que.first, nowf) > 0)
                    que.first = nowf;
                cg = 1;
            }
        }
        else if (only)
        {
            if (sign(get_length(oq.first)) && sign(dot(tmp, oq.first)) < 0)
                oq.first = Point();
            if (sign(get_length(oq.second)) && sign(dot(tmp, oq.second)) < 0)
                oq.second = Point();
        }
    }
    // printf("*%d\n",only);
    // if(only){
    //     printf("*%lf %lf %lf %lf\n",oq.first.x,oq.first.y,oq.second.x,oq.second.y);
    // }
    // else
    // {
    //     printf("*%lf %lf %lf %lf\n",que.first.x,que.first.y,que.second.x,que.second.y);
    // }
    if (!init && !sign(get_length(bas - Point(PI, PI))) || !sign(get_length(bas)))
    {
        printf("YES\n0 0 1 0");
    }
    else if ((!only && sign(cross(que.second, que.first)) <= 0) && dot(que.second, que.first) > 0 ||
             (only && (sign(get_length(oq.first)) || sign(get_length(oq.second)))))
    {
        printf("YES\n0 0 ");
        if (only && sign(get_length(oq.first)))
            printf("%d %d", (int)oq.first.x, (int)oq.first.y);
        else if (only && sign(get_length(oq.second)))
            printf("%d %d", (int)oq.second.x, (int)oq.second.y);
        else
            printf("%d %d", (int)que.second.x, (int)que.second.y);
    }
    else
    {
        printf("NO");
    }
    return 0;
}
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N Particle Arts

数学

题意

n个粒子，每个粒子有能量 $a_i$ ，两两随机碰撞，碰撞发生后两粒子能量变为 $a\&b,a|b$ ，经过很多次碰撞后，所有粒子能量会趋于稳定，求能量稳定后粒子能量的方差；

思路

经过模拟空想，粒子能量二进制位上的1和0会“富集”到某些数上，并且每位上的1总数不变；
例如样例

001b
010b
011b
100b
101b

“富集”后便成为了如下形式：

000b
000b
001b
111b
111b

即1会“聚集”在或结果上，0也会“聚集”在与结果上；
依此我们可以求出新数列，并计算方差；

代码

队友代码如下

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

void print(__int128_t x) {
   vector<char> buff;

   while (x) {
      buff.push_back(x % 10 + '0');
      x /= 10;
   }

   for (int i = buff.size() - 1; i >= 0; i--) {
      cout << buff[i];
   }

}

int main() {
   int n;
   cin >> n;
   vector<int> u(n);
   vector final(15, 0);

   for (auto &x : u) cin >> x;
   for (auto &x : u) {
      for (int i = 0; i < 15; i++) {
         if ((x >> i) & 1) {
            final[i]++;
         }
      }
   }

   for (int i = 0; i < n; i++) {
      u[i] = 0;
      for (int j = 0; j < 15; j++) {
         if (i < final[j]) u[i] |= 1 << j;
      }
   }

   __int128_t sum = 0;

   __int128_t a = 0;

   for (auto x : u) sum += x;
   for (auto x : u) a += (1ll * n * x - sum) * (1ll * n * x - sum);
   __int128_t b = 1ll * n * n * n;

   auto x = __gcd(a, b);

   a /= x, b /= x;
   if (a == 0 || b == 0) {
      cout << "0/1\n";
      return 0;
   }

   print(a);
   putchar('/');
   print(b);
   return 0;
}
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ed

计算几何专题，搞了一学期的计算几何只是让补题方便了些（