2022牛客多校训练第二场 J题 Link with Arithmetic Progression

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Link with Arithmetic Progression

题目大意

给定一个数组，让我们找到一条拟合它的直线，要求均方误差最小。相信大家在数学课或者机器学习课上都学过相关的知识。

题解

$$Target=min(\sum _{i=1}^n[a_1+(i-1)\times d-a_i{]}^2)$$
这就是我们要求的值，我们需要让其最小，我们可以先考虑把$a_1$求出来，很明显，随着$a_1$从负无穷到正无穷的变化过程中，Target值是先下降后上升的，也就是说$a_1$是一个凹函数，因此我们可以考虑用三分求$a_1$，然后在考虑在$a_1$确定的情况下，如何确定$d$。
我们对公式进行变形：
$$=[a_1+(i-1)\times d{]}^2-2\times [a_1+(i-1)\times d]\times a_i+{a_i}^2$$
然后，将带有$d$的合并同类项。
$$=(i-1{)}^2\times d^2+2\times (i-1)\times (a_1-a_i)\times d+{a_1}^2+{a_i}^2$$
根据二次函数的知识，我们可以很轻松的确定 $d=\frac{-b}{2\ast (i-1{)}^2}$
然后，就可以进行计算了。
话不多说，上代码：

代码

#include
#include
#include 
#include 
using namespace std;
#define int long long
#define double long double
const int maxn = 100010;
int w[maxn];
int n;

namespace GTI
{
    char gc(void)
       {
        const int S = 1 << 16;
        static char buf[S], *s = buf, *t = buf;
        if (s == t) t = buf + fread(s = buf, 1, S, stdin);
        if (s == t) return EOF;
        return *s++;
    }
    int gti(void)
       {
        int a = 0, b = 1, c = gc();
        for (; !isdigit(c); c = gc()) b ^= (c == '-');
        for (; isdigit(c); c = gc()) a = a * 10 + c - '0';
        return b ? a : -a;
    }
}
using GTI::gti;
double check(double a1)
{
	double a = 0, b = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		a += (i - 1) * (i - 1);
		b += 2 * (i - 1) * (a1 - w[i]);
	}
	double d = - b / (2 * a);
	double res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		res += (a1 + (i - 1) * d - w[i]) * (a1 + (i - 1) * d - w[i]);
	}
	return res;
}
signed main()
{
	int t; t = gti();
	while(t --)
	{
		n = gti();
		for(int i = 1; i <= n; i ++) w[i] = gti();
		double l = -1e10, r = 1e10;
		while(r - l > 1e-5) {
			double len = r - l;
			double mid_l = l + len / 3, mid_r = r - len / 3;
			if(check(mid_l) >= check(mid_r)) l = mid_l;
			else r = mid_r;
		}
		printf("%.10Lf\n", check(r));
	}
	return 0;
}
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