格雷码(Gray Code)与8421二进制码之间的转换算法 (LeetCode89)

1. 格雷码简介

格雷码跟8421码一样，也是一种对数字进行二进制编码的方法，只是编码方法跟常见的8421二进制编码方法不一样。

格雷码序列中，相邻的两个数字的二进制编码只有一位是不一样的，这种编码方式常用于较复杂的电路中。大家都知道二进制的 0/1 代表了电路的 开/关 ，例如n位的二进制编码，有很多情况下电路需要遍历 0 ~ 2^n 的情况，在电路实现中就是用n位的电路的开关依次转换来实现。

由于8421二进制编码的 0 ~ 2^n 的序列，相邻的两个数的二进制相差会出现多位不一样，因此电路在遍历时就需要同事变更多位电路开关，而这种操作是需要时间的，在这个过程中就有可能出现中间的状态，从而出现错误的编码。
例如：
n = 3 的 8421 编码

相邻两个数之间的二进制编码相差的不止1位，就会出现上面说的情况。而格雷码编码中，相邻的两个数的二进制编码只有1位是不一样的，因此在物理电路的变换中只涉及到一位电路的开关操作，即操作是原子的，不会出现中间过程，也就不会出现错误编码了，因此在某些场景的电路信号中被广泛运用。

2. 格雷码与8421二进制码之间的转换

以 n = 3 为例，8421码与格雷码之间的对应关系如下：

格雷码也是以全0开头的

2.1 8421码 ==> 格雷码

算法
1、8421码最左边一位不变，保留下来成为格雷码的最左边一位；
2、从左边第二位开始，将8421码的每一位与它左边的一位相 异或 得到对应位的格雷码；

代码实现

public static int toGrayCode(int i) {
	return i ^ (i >> 1);
}
1
2
3

将 i 与 i - 1 异或，也即将 i 的每一位与它的左边一位相异或。右移操作左边是补的0，0与任何数异或等于其本身，因此最左边一位被保留了。

2.2 格雷码 ==> 8421码

算法
1、格雷码的最左边一位保持不变，保留下来成为8421码的最左边一位；
2、从左边第二位开始，将8421码的每一位与前一位计算得到的8421码 异或 得到当前的8421码；

解释

8421码转格雷码是通过 i ^ (i - 1) 实现的，要想将格雷码转换为8421码，我们知道，异或运算有如下性质：
(a ^ b) ^ b = a ^ (b ^ b) = a

因此，可以得到 (i ^ (i >> 1)) ^ (i >> 1) = i ^ ((i >> 1) ^ (i >> 1)) = i
所以在上面的算法中在计算当前位的8421码时，需要将当前位的格雷码与上一位计算得到的8421码异或。

代码实现

public static int toBinaryCode(int grayCode, int n) {
    String grayCodeStr = Integer.toBinaryString(grayCode);
    if (grayCodeStr.length() < n) {
        // 补齐0，使得二进制编码有n位
        int bitCnt = grayCodeStr.length();
        for (int i = bitCnt; i < n; i++) {
            grayCodeStr = "0" + grayCodeStr;
        }
    }
    StringBuilder binary = new StringBuilder();
    binary.append(grayCodeStr.charAt(0)); //最左边一位不变
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        char cur = grayCodeStr.charAt(i);
        char preBinary = binary.charAt(i - 1);
        int tmp = (cur - '0') ^ (preBinary - '0');
        if (tmp == 0) binary.append('0');
        else binary.append('1');
    }
    return Integer.parseInt(binary.toString(), 2);
}
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2.3 测试

public class Demo {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        int powN = (int) Math.pow(2, n);
        int[] grayCode = new int[powN];
        System.out.println("========= Binary to GrayCode ==========");
        for (int i = 0; i < powN; i++) {
            grayCode[i] = toGrayCode(i);
            System.out.print(grayCode[i] + " ");
        }
        System.out.println();
        System.out.println("========= GrayCode to Binary ==========");
        for (int i = 0; i < powN; i++) {
            int binary = toBinaryCode(grayCode[i], n);
            System.out.print(binary + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static int toGrayCode(int i) {
        return i ^ (i >> 1);
    }

    public static int toBinaryCode(int grayCode, int n) {
        String grayCodeStr = Integer.toBinaryString(grayCode);
        if (grayCodeStr.length() < n) {
            // 补齐0，使得二进制编码有n位
            int bitCnt = grayCodeStr.length();
            for (int i = bitCnt; i < n; i++) {
                grayCodeStr = "0" + grayCodeStr;
            }
        }
        StringBuilder binary = new StringBuilder();
        binary.append(grayCodeStr.charAt(0)); //最左边一位不变
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            char cur = grayCodeStr.charAt(i);
            char preBinary = binary.charAt(i - 1);
            int tmp = (cur - '0') ^ (preBinary - '0');
            if (tmp == 0) binary.append('0');
            else binary.append('1');
        }
        return Integer.parseInt(binary.toString(), 2);
    }
}
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可以看到二进制与格雷码之间是可以正确转换的。

参考文献

[1] https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%BC%E9%9B%B7%E7%A0%81/6510858?fr=aladdin#5
[2] https://leetcode.com/problems/gray-code/