矩阵分析与应用-14-行列式

矩阵分析与应用-14-行列式

行列式

一个 $n\times n$ 正方矩阵的行列式记作或，定义为

$det(A)=|A|=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}) &a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & &... \\ a_{n1} &a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$

若 $A=\{a\}\in C^{1\times 1}$ ，则它的行列式由给出。

矩阵去掉第i行和第j列之后得到的剩余行列式记作 $A_{ij}$ ，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式。特别地，当主时， $A_i=A_{II}$ 称为的主子式。若令 $A_{ij}$ 是 $n\times n$ 矩阵删去第i行和第j列之后得到的(n - 1)×(n -1)子矩阵，则

$A_{ij}=(-1)^{i+j}det(A_{ij})$

一个 $n\times n$ 矩阵的行列式等于其任意行（或列)的元素与相对应的余子式乘积之和，

也就是：

$det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...,a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}det(A_{ij})$

和

$det(A)=a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+...,a_{ni}A_{ni}=\sum_{i=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}det(A_{ij})$

行列式不等于零的矩阵称为非奇异短阵。

非奇异矩阵存在逆知阵 $A^{-1}$ 。

关于行列式的等式关系

行列式服从以下等式关系。

(1)〕如果矩阵的两行(或列)互换位置，则行列式保持不变。

(2)若矩阵的某行(或列)是其他行(或列)的线性组合，则det(A)=0。特别地，若某行(或列)与另一行(或列)成正比或相等，或者某行(或列)的元素均等于零，则det(A) = 0。

(3)任何一个正方矩阵A和它的转置矩阵AT具有相同的行列式，即

(4)单位矩阵的行列式等于1，即。

(5)一个Hernitian矩阵的行列式为实数，因为

$det(A)=det(A^H)=det(A^T)\Rightarrow det(A)=det(A^*)=[det(A)]^*$

(6)两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，即

(7)对于一个三角(上三角或下三角)矩阵A，其行列式等丁三角矩阵主对角线所有元素的乘积，即

$det(A)=\Pi^n_{i=1}a_{ii}$

一个对角矩阵 $A=diag(a_{11},a_{22},a_{33},...,a_{nn})$ 的行列式也等丁其对角元素的乘积。

(8)给定一个任意的常数(可以是复数) c，则

(9)若A非奇异,则 $det(A^{-1})=(det(A))^{-1}$ 。

(10)对于矩阵 $A_{m\times m}$ , $B_{m\times n}$ , $C_{n\times m}$ , $D_{n\times n}$ ·分块矩阵的行列式满足

非奇异 $\Leftrightarrow det\begin{bmatrix} A &B \\ C& D \end{bmatrix}=det(A)det(D-CA^{-1}B)$

D非奇异 $\Leftrightarrow det\begin{bmatrix} A &B \\ C& D \end{bmatrix}=det(D)det(A-BD^{-1}C)$

关于行列式的不等式关系

(1) Cauchy-Schwartz不等式:若A,B都是mx n矩阵，则

$|det(A^HB)|^2\leq det(A^HA)det(B^HB)$

(2) Hadamard不等式;对于n × m矩阵A，有

$det(A)\leq \prod ^m_{i=2}\left$ \sum^m_{j=1}|a_{ij}|^2 \right$^{1/2}$

(3)Fischer不等式:若 $A_{m\times m}$ , $B_{m\times n}$ , $C_{n\times m}$ ，则

$det\left$\begin{bmatrix} A & B\\ B^H& C \end{bmatrix}\right$\leq det(A)det(C)$

(4) Minkowski不等式:若 $A_{m\times m} \neq O_{m\times m}$ ， $B_{m\times m} \neq O_{m\times m}$ 半正定，则

$\sqrt[m]{det(A+B)}\geq \sqrt[m]{det(A)}+\sqrt[m]{det(B)}$

(5)正定矩阵A的行列式大于0，即det(A) >0。

(6)半正定矩阵A的行列式大于或者等于0，即det(A) ≥0。

(7)若mx m矩阵A半正定，则

$(det(A))^{1/m}\leq \frac{1}{m}det(A)$

(8)若矩阵 $A_{m\times m}$ , $B_{m\times n}$ 均半正定，则

$det(A+B)\geq det(A)+det(B)$

(9)若 $A_{m\times m}$ 正定， $B_{m\times n}$ 半正定，则

$det(A+B)\geq det(A)$

(10)若 $A_{m\times m}$ 正定， $B_{m\times n}$ 半负定,则

$det(A+B)\leq det(A)$
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原文地址：https://blog.csdn.net/Xiao__fly/article/details/126064472

行列式

关于行列式的等式关系

关于行列式的不等式关系