第一类曲线积分的类型

一、第一类曲线积分的分类

01 平面第一类曲线积分

若 ${\Gamma }_{AB}\subset {\mathrm{R}}^2$，$P(x,y)\in {\Gamma }_{AB}$，

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(P)ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y)ds$ 称为平面第一类曲线积分。

02 空间第一类曲线积分

若 ${\Gamma }_{AB}\subset {\mathrm{R}}^3$，$P(x,y,z)\in {\Gamma }_{AB}$，

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(P)ds={\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y,z)ds$ 称为空间第一类曲线积分。

第一类曲线积分可以求平面和空间的曲线弧长。

二、第一类曲线积分的计算

01 平面第一类曲线积分

(1) 一元函数型

形式：${\Gamma }_{AB}:y=\phi (x),x\in [a,b]$ (x=x) 特殊的参数方程

$\phi ’(x)$ 连续（以后默认）
$${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,\phi (x))\sqrt{1+{\phi }^{\prime 2}(x)}dx$$

(2) 一元反函数型

形式：${\Gamma }_{AB}:x=\psi (y),y\in [c,d],\psi ’(x)$ 连续 ( $y=y$ ) 特殊的参数方程
$${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y)ds={\int }_c^{d}f(\psi (y),y)\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(y)}dy$$

(3) 极坐标型

形式：${\Gamma }_{AB}:r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ],r^{\prime }(\theta )$ 连续

⇒   {   x = r ( θ ) cos ⁡ θ   y = r ( θ ) sin ⁡ θ θ ∈ [ α , β ] \Rightarrow\

\quad\theta\in[\alpha,\beta] ⇒ { x=r(θ)cosθ y=r(θ)sinθ​θ∈[α,β] ，$x^{\prime 2}(\theta )+y^{\prime 2}(\theta )=r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )$，强行构造参数方程
$${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta )\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$$

(4) 反极坐标型

形式：${\Gamma }_{AB}:\theta =\theta (r),r\in [a,b],{\theta }^{\prime }(r)$ 连续

⇒   {   x = r cos ⁡ θ ( r )   y = r sin ⁡ θ ( r ) r ∈ [ a , b ] \Rightarrow\

\quad r\in[a,b] ⇒ { x=rcosθ(r) y=rsinθ(r)​r∈[a,b]

不作统一形式的公式，具体题目具体分析。

好的思路：转化为 $r=r(\theta )$ 或者关于x，y的方程。

02 空间第一类曲线积分

若 Γ A B :   {   x = x ( t )   y = y ( t )   z = z ( t ) t ∈ [ α , β ] \Gamma_{AB}:\

\quad t\in[\alpha,\beta] ΓAB​: ⎩ ⎨ ⎧​ x=x(t) y=y(t) z=z(t)​t∈[α,β]，则有
$${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$$

重积分被积函数一般不能化简，因为它满足的是不等式，而曲线曲面积分经常可以化简，因为它满足的是等式。