2、排序算法

2.1、排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

2.2、排序的分类

• 1) 内部排序: 指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
• 2)外部排序法: 数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储(文件等)进行排序。
• 3)常见的排序算法分类(见右图):
  

2.3、算法的时间复杂度

2.3.1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1）事后统计的方法
这种方法可行，但是有两个问题: 一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2）事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

2.3.2时间频度

时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

举例说明-基本案例
比如计算1-100所有数字之和，我们设计两种算法:

• 举例说明-忽略常数项
  
  结论:
  1)2n+20和2n随着n变大，执行曲线无限接近,20可以忽略
  2)3n+10 和 3n 随着n变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

• 举例说明-忽略低次项
  
  结论:

1. 2n’2+3n+10和2n^2随着n变大,执行曲线无限接近，可以忽略 3n+10
2. n’2+5n+20和 n^2随着n变大,执行曲线无限接近，可以忽略5n+20

• 举例说明-忽略系数
  
  结论:
  1)随着n值变大，5n^2+7n和 3n^2+ 2n ，执行曲线重合，说明这种情况下,5和3可以忽略。
  2)而n^3+5n和 6n^3+4n，执行曲线分离，说明多少次方式关键

2.3.3时间复杂度

1)一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2)T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如:T(n)=n^2 +7n+6与T(n)=3n^2 +2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n)。

3) 计算时间复杂度的方法:
●用常数1代替运行时间中的所有加法常数，T(n)=n^2+7n+6 → T(n)=n^2+7n+1
●修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n^2+7n+1 → T(n)= n^2
●去除最高阶项的系数，T(n)= n2 → T(n)= n→ O(n2)

2.3.4常见的时间复杂度

1. 常数阶O(1)
2. 对数阶O(log2n)
3. 线性阶O(n)
4. 线性对数阶O(nlog2n)
5. 平方阶O(n^2)
6. 立方阶O(n^3)
7. k 次方阶O(n^k)
8. 指数阶O(2^n)
   
   说明:
   1)常见的算法时间复杂度由小到大依次为: O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) < O(n^2) < O(n^3) <O(n^k) < O(2n)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
   2)从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2)对数阶O(log2n)

4. 线性对数阶O(nlog2n)
   

2.3.5平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2) 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。

一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

2.4算法的空间复杂度

1)类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2)空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法，基数排序就属于这种情况

3)在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

2.5、常用排序算法总结和对比

相关术语解释:

• 1)稳定:如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面;
• 2)不稳定:如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后a可能会出现在b的后面;
• 3)内排序:所有排序操作都在内存中完成;
• 4)外排序:由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行;
• 5)时间复杂度:一个算法执行所耗费的时间。
• 6)空间复杂度:运行完一个程序所需内存的大小。
• 7)n:数据规模；
• 8)k:“桶”的个数；
• 9)In-place:不占用额外内存10)Out-place:占用额外内存