高等数学（第七版）同济大学 习题3-8 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题3-8

题解中的C语言代码采用的IDE：Visual Studio 2010

 

$\begin{array}{rlr}& 1.试证明方程x^3-3x^2+6x-1=0在区间(0,1)内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，& \\ & & \\ & 使误差不超过\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设函数f(x)=x^3-3x^2+6x-1，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=-1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零点定理可知至少存在一点\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，则方程在(0,1)内至少有一个实根。& \\ & & \\ & 因f^{\prime }(x)=3x^2-6x+6=3(x-1{)}^2+3>0，所以函数f(x)在[0,1]上单调增加，即方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 在(0,1)内最多有一个实根。所以，方程x^3-3x^2+6x-1=0在区间(0,1)内有唯一的实根。& \\ & & \\ & 二分法求近似值：& \\ & & \\ & {\xi }_1=0.5，f({\xi }_1)=1.375>0，故a_1=0，b_1=0.5；& \\ & & \\ & {\xi }_2=0.25，f({\xi }_2)=0.328>0，故a_2=0，b_2=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_3=0.125，f({\xi }_3)=-0.295<0，故a_3=0.125，b_3=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_4=0.188，f({\xi }_4)=0.026>0，故a_4=0.125，b_4=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_5=0.157，f({\xi }_5)=-0.132<0，故a_5=0.157，b_5=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_6=0.173，f({\xi }_6)=-0.052<0，故a_6=0.173，b_6=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_7=0.18，f({\xi }_7)=-0.013<0，故a_7=0.18，b_7=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_8=0.184，f({\xi }_8)=0.007>0，故a_8=0.18，b_8=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_9=0.182，f({\xi }_9)=-0.003<0，故a_9=0.182，b_9=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_{10}=0.183，f({\xi }_{1}0)=0.002>0，故a_{10}=0.182，b_{10}=0.183；& \\ & & \\ & {\xi }_{11}=0.183，f({\xi }_{1}1)=0.002>0& \\ & & \\ & 使误差不超过0.01的根的近似值为\xi =\mathrm{0.183.}& \end{array}$
 

代码块：

#include 
#include 
#include 

int main() {
	float xi, a, b;
	a=0;
	b=1;
	float fx;
	for(int i=0; i<12; i++){
		xi=(a+b)/2;
		fx=pow(xi, 3)-3*pow(xi, 2)+6*xi-1;
		printf("xi=%2.3f   fx=%2.3f   a=%2.3f   b=%2.3f\n", xi, fx, a, b);
		if(fx>0){
			a=a;
			b=xi;
		}
		else if(fx<0){
			a=xi;
			b=b;
		}
	}
	system("pause");
	return 0;
}
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$\begin{array}{rlr}& 2.试证明方程x^5+5x+1=0在区间(-1,0)内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，& \\ & & \\ & 使误差不超过\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设函数f(x)=x^5+5x+1，f(x)在[-1,0]上连续，且f(-1)=-5<0，f(0)=1>0，& \\ & & \\ & 由零点定理可知至少存在一点\xi \in (-1,0)，使f(\xi )=0，则方程在区间(-1,0)内至少有一实根。& \\ & & \\ & 因为f^{\prime }(x)=5x^4+5>0，所以f(x)在[-1,0]上单调增加，即方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 在(-1,0)内最多有一个实根，所以，方程x^5+5x+1=0在区间(-1,0)内有唯一的实根。& \\ & & \\ & 切线法求近似值：& \\ & & \\ & f^{\prime \prime }(x)=20x^3，f^{\prime \prime }(-1)=-20<0，取x_0=-1，用公式x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{\prime }(x_{n-1})}得& \\ & & \\ & x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=-0.5& \\ & & \\ & x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}\approx -0.21& \\ & & \\ & x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f^{\prime }(x_2)}\approx -0.2& \\ & & \\ & x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{f^{\prime }(x_3)}\approx -0.2& \\ & & \\ & 使误差不超过0.01的根的近似值为\xi =-\mathrm{0.2.}& \end{array}$
 

代码块：

#include 
#include 
#include 

int main() {
	float x, xn;
	xn=-1;
	float fx, fx1;
	for(int i=0; i<4; i++){
		fx=pow(xn, 5)+5*xn+1;
		fx1=5*pow(xn, 4)+5;
		x=xn-fx/fx1;
		printf("x=%3.2f\n", x);
		xn=x;
	}
	system("pause");
	return 0;
}
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$\begin{array}{rlr}& 3.用割线法求方程x^3+3x-1=0的近似根，使误差不超过\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设函数f(x)=x^3+3x-1，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=-1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零点定理可知至少存在一点\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，因f^{\prime }(x)=3x^2+3>0，& \\ & & \\ & 所以f(x)在[0,1]上单调增加，方程在(0,1)内有唯一实根。& \\ & & \\ & 割线法求近似值：& \\ & & \\ & f^{\prime \prime }(x)=6x，f^{\prime \prime }(1)=6>0，取x_0=1，x_1=0.8，利用公式x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\cdot f(x_n)得& \\ & & \\ & x_2=x_1-\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}\cdot f(x_1)\approx 0.449& \\ & & \\ & x_3=x_2-\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}\cdot f(x_2)\approx 0.345& \\ & & \\ & x_4=x_3-\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}\cdot f(x_3)\approx 0.323& \\ & & \\ & x_5=x_4-\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}\cdot f(x_4)\approx 0.322& \\ & & \\ & 取0.32作为根的近似值，其误差小于\mathrm{0.01.}& \end{array}$
 

代码块：

#include 
#include 
#include 

int main() {
	float xn0, xn1, r;
	xn0=1.0;
	xn1=0.8;
	float fx0, fx1;
	for(int i=0; i<6; i++){
		fx0=pow(xn0, 3)+3*xn0-1;
		fx1=pow(xn1, 3)+3*xn1-1;
		r=xn1-(xn1-xn0)/(fx1-fx0)*fx1;
		printf("r=%2.3f\n", r);
		xn0=xn1;
		xn1=r;
	}
	system("pause");
	return 0;
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$\begin{array}{rlr}& 4.求方程xlgx=1的近似根，使误差不超过\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设函数f(x)=xlgx-1，f(x)在[1,3]上连续，且f(1)=-1<0，f(3)=3lg3-1>0，& \\ & & \\ & 由零点定理可知至少存在一点\xi \in (1,3)，使f(\xi )=0，方程在区间(1,3)内至少有一实根，& \\ & & \\ & 因为f^{\prime }(x)=lgx+x\cdot \frac{1}{xln10}=lgx+\frac{1}{ln10}>0(x\ge 1)，所以函数在[1,3]上单调增加，方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 即xlgx=1在(1,3)内最多有一个实根，所以方程xlgx=1在(1,3)内有唯一的实根。& \\ & & \\ & 二分法求根的近似值：& \\ & & \\ & {\xi }_1=2，f({\xi }_1)=-0.395<0，故a_1=2，b_1=3；& \\ & & \\ & {\xi }_2=2.5，f({\xi }_2)=-0.005<0，故a_2=2.5，b_2=3；& \\ & & \\ & {\xi }_3=2.75，f({\xi }_3)=0.208>0，故a_3=2.5，b_3=2.75；& \\ & & \\ & {\xi }_4=2.63，f({\xi }_4)=0.1>0，故a_4=2.5，b_4=2.63；& \\ & & \\ & {\xi }_5=2.57，f({\xi }_5)=0.047>0，故a_5=2.5，b_5=2.57；& \\ & & \\ & {\xi }_6=2.53，f({\xi }_6)=0.021>0，故a_6=2.5，b_6=2.53；& \\ & & \\ & {\xi }_7=2.52，f({\xi }_7)=0.008>0，故a_7=2.5，b_7=2.52；& \\ & & \\ & {\xi }_8=2.51，f({\xi }_8)=0.001>0，故a_8=2.5，b_8=2.51；& \\ & & \\ & {\xi }_9=2.51，f({\xi }_9)=0.001>0& \\ & & \\ & 所以误差不超过0.01的根的近似值为\xi =\mathrm{2.51.}& \end{array}$
 

代码块：

#include 
#include 
#include 

int main() {
	float xi, a, b;
	a=1;
	b=3;
	float fx;
	for(int i=0; i<10; i++){
		xi=(a+b)/2;
		fx=xi*log10(xi)-1;
		printf("xi=%2.2f   fx=%2.3f   a=%2.2f   b=%2.2f\n", xi, fx, a, b);
		if(fx>0){
			a=a;
			b=xi;
		}
		else if(fx<0){
			a=xi;
			b=b;
		}
	}
	system("pause");
	return 0;
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