【Luogu】UVA1205 Color a Tree / SP3912 MTREECOL - Color a tree

一道经典贪心。

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本题的贪心策略是：令 $a_i$ 表示节点 $i$ 的权值，$f{a}_i$ 表示节点 $i$ 的父亲，可以发现，假如 $f{a}_i$ 被染色了，且 $a_i\ge \forall a_j$ 且不为根节点，则接下来必定染 $a_i$。

既然规定了顺序，我们就可以将 $f{a}_i$ 与 $i$ 合并，用并查集维护更方便些。

但是在处理节点之间的比较时，我们需要进行一些特殊处理。

在《算进》中，其提到一种“等效权值”，令 $sum$ 为该点包含的原始权值总和，$num$ 为该点包含的原始点数，其定义为 $\frac{sum}{num}$。但是如果直接用此比较大小，会出现浮点误差。

因此，我们选择规避掉。

明显地，设两个节点为 $x,y$，则有 $\frac{su{m}_x}{nu{m}_x}$ 与 $\frac{su{m}_y}{nu{m}_y}$，两者乘上 $nu{m}_x\times nu{m}_y$，得 $su{m}_x\times nu{m}_y$ 与 $su{m}_y\times nu{m}_x$。

于是这个处理就结束了。

具体见代码。

AC Code：

#include
#define int long long
using namespace std;

struct node{
	int sum,num,fa,ans;//sum,num 意义见上，fa 表示该节点的父亲，ans 表示到当前节点为止的答案
}a[1005];
int n,r,fa[1005];

bool operator<(const node &x,const node &y)//比较
{
	return x.sum*y.num<y.sum*x.num;
}

int find(int x)//并查集的 find()
{
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>r;
	while(n&&r)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i].sum;
			a[i].num=1;
			fa[i]=i;
			a[i].ans=a[i].sum;//初始化
		}
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int x,y;
			cin>>x>>y;
			a[y].fa=x;
		}
		int t=n;//t 为节点数
		while(t>2)//当结点数还未合并到两个时执行
		{
			node maxn={0,1,0};//找最大非根子节点
			int j=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				int x=find(i);
				if(x==r) continue;//为根节点
				if(maxn<a[x]) maxn=a[x],j=x;
			}
			int k=find(maxn.fa);
			a[k].sum+=a[j].sum;//合并时相应值也要合并
			a[k].ans+=a[k].num*a[j].sum+a[j].ans;//处理答案
			a[k].num+=a[j].num;
			fa[j]=k;//合并节点
			t--;
		}
		if(t==1) cout<<a[1].ans<<endl;//单个根节点的特判
		else
		{
			int j=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				int x=find(i);
				if(x==r) continue;
				j=x;
				break;
			}
			cout<<a[r].num*a[j].sum+a[j].ans+a[r].ans<<endl;//最后将答案合并输出
		}
		cin>>n>>r;
	}
 	return 0;
}
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