Magic Bracelet-【群论】【Burnside引理】【矩阵快速幂】

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并不像普通群论题，本题不考察polya,考察Burnside引理，并且巧妙的与欧拉函数，DP，矩阵快速幂结合，非常具有综合性和典型性。

Burnside 引理

方案数等于各置换不动点的平均数

这里要特别强调一下不动点，指的是整个圆在旋转之后不变，而非圆上某个点的状态。 

根据群论循环置换结论

环每个点旋转i个点，所构成的循环数为gcd(i,n)

这里需要着重强调一下这  gcd(i,n)个循环究竟长什么样子。

下图中，相同颜色为一个循环，易知循环长度为3，循环内点必须满足颜色相同才能满足整个圆旋转之后成为一个“不动点”

 由此我们得出第 1个点属于第一个循环，第2个点属于第二个循环，直至第n个点属于第n个循环，第n+1个点属于第一个循环。也就是说，前n个点我们就可以确定这n个循环的状态，也就是整个圆的状态，只要我们求出满足题目排斥要求的n个点的排列方案数，那么整个圆也就被确定了。

显然可以设 f[i][j]为 第i个点是j颜色的方案数，那么它由上一个点转移而来，转移方程为

  其中m(i,j)是约束条件，0或者1代表是否能够相邻

但是仅仅满足这种线性关系还不够，第n个点其实是和第1个点相邻的。那么我们可以枚举第1个点的颜色，输出  f[n+1][k]即可，f[n+1][k]完全由f[n][]整体推出，除了去掉与1排斥的条件，都是相同的。这时我们求出了  C(f)  =  f[n+1][k]  ，即不动点数

根据Burnside定理

总方案数等于   

 该公式有转化为欧拉函数的步骤，这里暂且将gcd=d时的C(f)记作  C(d)

 这样就可以直接枚举n的因数即可，欧拉函数也可以快速求解，复杂度降低

下面集中处理C(d)

直接嵌套循环求DP数组肯定完爆