矩阵分析与应用

广义逆矩阵的定义与性质

考虑阶的一般矩阵A，其秩k小于或等于。

我们的问题是：是否存在某种合适意义下的逆矩阵，使得线性方程组的解可以用这种逆矩阵表示？

定义1：有线性方程，若矩阵A的行之间存在的线性关系也存在于向量y的对应元素中，则该方程组称为一致方程（即至少存在一个解能够严格满足该方程组）。

如：

矩阵A的第二行是第一行的3倍，向量y的第二个元素也是第一个元素的3倍。

定义2：仅当线性方程组为一致方程时。这一线性方程组方可求解。

定义3：当且仅当增广矩阵的秩等于矩阵的值，即时，线性方程是一致方程。

定义4：A是一个m*n的矩阵，具有任意秩，矩阵A的广义逆矩阵是一个n*m的矩阵G,并当为一致方程时，使得是线性方程的解。

定义5：当且仅当时，一致方程对于有解。

定义6：方程的解与矩阵A的任意行正交，并且线性无关。

m*n矩阵A的广义逆矩阵G用符号表示，即。

广义逆矩阵有着以下重要性质。

1.存在

2.存在为幂等矩阵（即）且

3.存在为幂等矩阵（即）且

定义：m*n的矩阵A的广义逆矩阵是一个满足的n*m的矩阵。

定义：m*n的矩阵A的广义逆矩阵是满足下列条件之一的n*m矩阵：

1.为幂等矩阵，且

2.为幂等矩阵，且

逆矩阵，左逆矩阵，右逆矩阵都可以视为广义逆矩阵的一个特例。

1.逆矩阵满足

2.左逆矩阵L满足，因为

3.右逆矩阵R满足，因为

广义逆矩阵的计算

满秩分解：矩阵具有秩r，若A=FG，其中的秩为r（满列秩矩阵），且的秩也为r（满行秩矩阵），则称A=FG为矩阵A的满秩分解。

命题：一个秩为r的m*n矩阵A可以分解为

其中K和L分别具有满列秩和满行秩。

证明：存在m*m的非奇异矩阵P和n*n非奇异矩阵Q使得：

或等价为：

将逆矩阵和分块为：

于是，有：

由于P是非奇异的，因此也是非奇异的，即的列是线性无关的，特别地，矩阵K的r列线性无关，固有rank（K）=r，即K具有满列秩。类似的，L具有满行秩。

矩阵的满秩分解算法：

步骤1：利用行初等变换将矩阵A化为阶梯型。

步骤2 对单位矩阵执行逆行初等变换，得到逆矩阵

步骤3 利用逆矩阵的前r列构造矩阵F

步骤4 书写满秩分解结果A=FG

引理：若矩阵具有秩r，且其满秩分解为A=FG，其中为满列秩，为满行秩，则

是A的一个广义逆矩阵。

证明如下：

广义逆矩阵的计算总结如下：

1.计算矩阵的满秩分解A=FG

2.求广义逆矩阵