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前言

本篇为大创团队的第十篇集体作品，是新开始的一章针对物理光学的又一大分支–傅里叶光学的各种可以体现这种频谱特性的现象做出了探索和尝试。
（全息部分目前测试还有一定问题，欢迎大家一起尝试讨论）

一、傅里叶变换是什么

1、公式变换

时间域傅里叶变换
其傅里叶变换为$F(j\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$
傅里叶反变换为：$f(t)=\int F(j\omega )e^{j\omega t}dw$
从傅里叶反变换中得出：时域信号可以有不同振幅，不同频率成分的正弦函数线性叠加。

空间域傅里叶变换
$$F(f_x,f_y)=\int \int f(x,y)e^{-2\pi j(f_x+f_y)}dxdy$$
空间频率
$$f_x=\frac{cos\alpha }{\lambda }{f}_y=\frac{cos\beta }{\lambda }$$
当入射波长一定时，空间频率是一个与角度有关的量，也就是空间频率与光线入射方向有关，不同方向代表不同频率成分。而傅里叶变换，则是将$f(x,y)$变换到频域，观察其空间频率成分。通过频谱图，可以观察到原函数的各个频率成分以及其对应的幅值大小。
傅里叶反变换：$$f(x,y)=\int \int F(x,y)e^{2\pi j(f_x+f_y)}d{f}_{x}d{f}_y$$
从傅里叶反变换中可以看出，物函数f(x,y)可以看成振幅不同，方向不同的平面波的线性叠加。

2、角谱函数（频谱）

空间频谱就叫角谱。
$$F(f_x,f_y)=\int \int f(x,y)e^{-2\pi j(f_x+f_y)}dxdy$$

３、透镜的傅里叶变换性质

考查后焦面上的光场分布。
$$g(x,y)=\frac{1}{i\lambda f}{e}^{i\frac{k}{2f}(1-\frac{d_1}{f})(x^2+y^2)}F(f_x,f_y)$$
此时$f_x=\frac{x}{f\lambda },f_y=\frac{y}{f\lambda }$
在透镜后焦面上得到了物函数的傅里叶频谱。但傅里叶变换式前面的位相因子，导致了后焦面上的光场弯曲。
讨论几种特殊的情况 ：
物位于透镜前焦面($d_1=f$)
$$g(x,y)=\frac{1}{i\lambda f}F(f_x,f_y)$$
物紧贴透镜前表面($d_1=\mathrm{０}$)
$$g(x,y)=\frac{1}{i\lambda f}{e}^{i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)}F(f_x,f_y)$$
物置于透镜后
$$g(x,y)=\frac{fA}{\lambda d^2}{e}^{i\frac{k}{2d}(x^2+y^2)}$$

４、全息

为了记录相位，光学全息利用干涉原理，将物光波前以干涉条纹的形式记录下来振幅和相位信息，再利用衍射效应重现包含物体全部信息的三维像。
1.记录
{ O ( r , t ) = A o ( r ) e i ( ψ O − ω t ) R ( r , t ) = A R ( r ) e i ( ψ R − ω t )

{O(r,t)=Ao​(r)ei(ψO​−ωt)R(r,t)=AR​(r)ei(ψR​−ωt)​
则参考光与物光相互干涉，其光强为
$$I(r,t)=｜O{｜}^2+｜R{｜}^2+2｜O｜｜R｜cos({\psi }_O-{\psi }_R)$$
第三项表示两个波之间的干涉效应，条纹形状由相位差决定，因此，干涉条纹的疏密，取向和强弱，对比度反应了相位分布。
2.重现
设全息底片的振幅透过率与光强度成正比
$$\tau (x,y)={\tau }_0+\beta I(x,y)$$
当用原参考光照明重现时，其透射光场
$$A_{r}ec(r,t)=R(r,t)\tau (r)=R[{\tau }_0+\beta (|O{|}^2+|R{|}^2)]+\beta R{R}^{\ast }O+\beta R^2{O}^{\ast }$$
式中第一项为与重现光波相同的透射光场，第二项为虚像+1级，第三项为共轭像-1级。

二、VirtualLab仿真

1.傅里叶基础

我们对傅里叶变化进行研究。
首先，如图所示搭建光路图，平面波经过一个孔径到达透镜，透镜焦距设置为100mm，将孔径放在透镜前100mm处，探测器放在孔径后和透镜后100mm即后焦面处观察光的分布情况。


Raw Data Detector数字探测器可以直接探测到光的振幅和相位（选用camera detector也可），Angular Spectrum Visualizer角谱探测器则是对光进行了傅里叶变换。

最终搭好的光路中也可以不用identity operator，给探测器设置到透镜的后焦点上即可。

使用Classic Field Tracing运行后，可以得到这样的仿真图像。


前一个图为经过孔径后的复振幅分布，后一个图为经过透镜进行傅里叶变换后在后焦面上的复振幅分布。

单击左侧图像后，点击Manipulations菜单下的傅里叶变换按键，进行手动的傅里叶变换，可以得到如下的实验结果图。

可以看到，效果是一致的。
下图为角谱探测器的仿真结果图，角谱探测器本身就是傅里叶变换的作用，可以看到，效果也与经过透镜后的图像一致。
接下来，我们将刚刚光路中的Identity Operator器件删去，直接连接数字探测器，进行运行。

可以看到，因为透镜后焦点处能对物函数相当于做一个傅里叶变换，探测器获得的复振幅情况依旧与傅里叶变化情况相吻合。

2.全息记录

整个光路的距离设计如下。

首先，新建一个空的文件，在其添加一个高斯波。

双击设置高斯波的波长532nm及束腰半径为200um X 200um。

波源设置好后，添加Ideal Components中的理想分束器，并设置其位置。

双击设置其位置为Z=25mm。
其后添加理想透镜，设置位置分别为10mm和45mm。用两个透镜构成了扩束系统。

第一个透镜设置焦距为5mm。

第二个透镜设置焦距为50mm。

添加理想平面镜，位置为50mm。

角度设置为绕y轴旋转-30°。

放置正弦光栅，位置设置为10mm。

设置其周期为45um。

设置两个aperture，位置分别为31.603mm和90mm。用这两个孔径来模拟全息干板。

上面的孔径设置为5mm×2mm。

下面的孔径设置为6mm×2mm。

再放置两个Camera Dectector。

在所有元件摆放好后将光路连接，可注意到分束器和fixed mirror间的光路为红线，与mirror间的为蓝线（软件中反射光线为红线表示，透射光线用蓝线表示）
我们可以通过3D视图观察元件的搭建情况，在optical setup中点击3D标识。

即可看到元器件的立体位置视图。

通过Ray tracing system analyzer可以看到光路图。


而classical field tracing后可以看见图样。

３.全息重现

首先按照全息记录中的高斯光和两个透镜相同设置。

其后拖入stored function

双击进入后可在set中导入全息记录过程中全息干板上记录的数据（将探测器探测到的结果进行转化，在manipulations中转化至透过率函数的形式）。

其后添加Aperture，并双击设置其形状和大小，并且修改Relative Edge Width参数为 20％

其位置设置为x轴的-1.22mm。

（与全息记录中相同，因为级次选择器为可编程元件，这里我们也省略了它，当然这可能造成一些问题）

此后放置identity operator，并设置其x轴方向位置为1.22m，并且绕y轴旋转-30度。

此后放置探测器，只需将插值方式改为Accelerated Sinc，其余参数默认即可。

最后的-1级的光路搭建如图，注意Aperture 和identity operator在x轴方向上的位置总是互为相反数。

对于0级和+1级的光路搭建只需将Aperture和identity operator在x轴方向上的位置改变即可。


（未完待续）

总结

本篇由大创团队成员：唐艺恒、扶杨玉、黄一诺、李思潼、明玥共同完成。
此篇为傅里叶变换这一大节的首次探索。确实遇到各种问题，希望大家感兴趣的尝试后能够一起讨论看看怎么解决。