第4章 决策树 学习心得

基本流程

主要是一个递归过程

def TreeGenerate(D, A): # D为样本集合/列表，A为属性集合
    生成节点node
    if D 中样本属于同一个类C:
        node标记为C类叶子结点
        return
    if A 为空集（即所有的属性已经用光了） or D中样本在A上取值相同:
        将node作为叶节点，标记为D中样本数最多的类
        return
    从A中挑选最优的属性划分属性a_best
    for a in a_best的可取值:
        从node生成一个分支点，令D_divided为D中在a_best属性取值为a的样本集合
        if D_divided is empty:
            该分支节点成为叶子节点，用D中类别最多样本的类标记（即，当预测一个
            样本时，这个属性值为a时，他用D中类最多的来估计的，书中所说的服从
            父结点的类别先验分布）。
            return
        else:
            分支节点为TreeGenetate(D_divided, A)
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划分选择

信息增益（information gain）

信息熵（information entropy）

衡量随机变量可能性“混乱度”的，高中化学提到的熵有点区别，这个用物理上的熵理解非常直观，熵越大越“混乱”越“随机”越”无序”，熵越小越“有序“越”整齐“。公式为：
$$\mathrm{Ent}(D)=-\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{p}_k{\log }_2{p}_k$$
一般code就直接用e作为底数不用2。

条件熵

这里本质理解为加权信息熵就好了，公式很直观：
$$\frac{\left|D^v\right|}{|D|}\mathrm{Ent}\left(D^v\right)$$
其中$D^v$表示从$D$中划分出的子集（取了某个已知“条件”）。

所以可以得到信息增益的表达式：
$$\mathrm{Gain}(D,a)=\mathrm{Ent}(D)-\sum _{v=1}^V\frac{\left|D^v\right|}{|D|}\mathrm{Ent}\left(D^v\right)$$
即用未划分的信息熵减去划分后的条件熵/加权信息熵，也是直观的，如果差距越大，表明划分后分类相比之前更“有序”当然是我们希望的结果。这也是ID3算法使用的思想（Iterative Dichotomiser， 迭代二分类器）。

增益率（gain ratio）

ID3算法使用的这种信息增益思想的一个缺点是，当属性可取值增多时，其得到的条件熵往往就变小了（类越多，每个分类自然直观上也会越整齐），极端情况是书上每个属性取值对应一个样本的情况，那条件熵就是0了，信息增益取当前最大，但这种情况显然不能很好地泛化。于是为了平衡，平衡这种分类数增多造成的熵增（类多本身也是一种无序），因此可以用划分本身造成的熵增来约化信息增益，公式为：
$$\mathrm{Gain}\mathrm{ratio}(D,a)=\frac{\mathrm{Gain}(D,a)}{\mathrm{IV}(a)}$$
其中，
$$\mathrm{IV}(a)=-\sum _{v=1}^V\frac{\left|D^v\right|}{|D|}{\log }_2\frac{\left|D^v\right|}{|D|}$$
称为a的固有值（intrinsic value），其实就是按照A集合划分造成的熵增，显然划分越多熵增越多，从而平衡信息增益的增大。因此增益率有一定的对于属性可取值少的属性作为划分属性的偏好。

基尼指数（Gini index）

定义从数据集中随机有放回抽取两个样本，不属于同一类的概率为基尼值：
Gini ⁡ ( D ) = ∑ k = 1 ∣ Y ∣ ∑ k ′ ≠ k p k p k ′ = 1 − ∑ k = 1 ∣ Y ∣ p k 2 Gini(D)=|Y|∑k=1∑k′≠kpkpk′=1−|Y|∑k=1p2k

Gini(D)​=k=1∑∣Y∣​k′=k∑​pk​pk′​=1−k=1∑∣Y∣​pk2​​
比较直观地，如果数据集纯度比较大，那么基尼值越小。
对应信息熵与条件熵，基尼值与基尼指数有类似的“加权”关系，基尼指数定义为：
$$Gini\_index(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{\left|D^v\right|}{|D|}\mathrm{Gini}\left(D^v\right)$$
所以更小的基尼指数，表示划分纯度更高，这是CART（Classification and Regression Tree）算法采用的思想。

剪枝处理（pruning）

为了解决过拟合，减少过多的叶子结点的产生，控制树的“深度”。

预剪枝（prepruning）

在生成结点的过程中，利用验证集去衡量对结点划分前后的泛化能力/正确率，从而在划分后正确率/泛化能力下降的结点结束划分成为叶节点。
预剪枝也存在一定的问题，它无法保证某个节点划分后泛化能力的下降是否是暂时的，比如，在其划分后如果继续划分可能可以达到更低的错误率，因此预剪枝有欠拟合风险。

后剪枝（postpruning）

先生成一棵完整的决策树，然后自下而上考察含有叶节点的中间节点，考察将其叶节点去掉，自身作为叶节点后，对于验证集是否有正确率的提高，如果有则进行剪枝。
一般后剪枝欠拟合风险较小，但是训练的时间开销要大于决策树生成本身和预剪枝。

连续与缺失值

连续值的处理

其实就是回归树的生成过程中，划分点的选择，书中说比如有n个属性，则有n-1个划分点，其实也不一定，完全可以增加一个，即将所有的都化为一个类中。这样实际中可以不用信息增益，而启发式的进行学习，比如大于某分割的为正类，小于为负类，或者小于为正，大于为负，然后依据错误率最小找到最优划分点以及取大于还是小于的不等号（见之前自己写的代码）。

缺失值的处理

对于缺失值书上介绍了C4.5算法的处理方法，基本思想可以总结为，在选择划分属性时，根据未缺失样本占总样本的加权数量比例，加权（由未缺失属性值的样本子集计算出的）信息增益，从而平衡不同属性的信息增益因为样本数目不同造成的差异；在选取最佳属性之后，划分子节点时候，对于该属性缺失的样本，按照未缺失样本划分的数量分布，将样本数量加权并分到每个节点（相当于比如将0.1个样本分到某一子节点），这个数量将在之后的划分中一直保留或再次被“加权”（另外划分属性也缺失值时）。
具体地，定义：
$$\rho =\frac{{\sum }_{\mathbf{x}\in \tilde{D}}{w}_{\mathbf{x}}}{{\sum }_{\mathbf{x}\in D}{w}_{\mathbf{x}}}$$
$${\tilde{p}}_k=\frac{{\sum }_{\mathbf{x}\in {\tilde{D}}_k}{w}_{\mathbf{x}}}{{\sum }_{\mathbf{x}\in \tilde{D}}{w}_{\mathbf{x}}}(1⩽k⩽|\mathcal{Y}|)$$
$${\tilde{r}}_v=\frac{{\sum }_{\mathbf{x}\in {\tilde{D}}^v}{w}_{\mathbf{x}}}{{\sum }_{\mathbf{x}\in \tilde{D}}{w}_{\mathbf{x}}}(1⩽v⩽V)$$
其中的$w_{\mathbf{x}}$即为数量权重，一开始初始为1，表示每个样本自身的数量，当有缺失值且按照缺失属性划分时，数量权重会变化。此时信息增益为：
Gain ⁡ ( D , a ) = ρ × Gain ⁡ ( D ~ , a ) = ρ × ( Ent ⁡ ( D ~ ) − ∑ v = 1 V r ~ v Ent ⁡ ( D ~ v ) ) Gain(D,a)=ρ×Gain(˜D,a)=ρ×(Ent(˜D)−V∑v=1˜rvEnt(˜Dv))

Gain(D,a)​=ρ×Gain(D~,a)=ρ×(Ent(D~)−v=1∑V​r~v​Ent(D~v))​
其中
$$\mathrm{Ent}(\tilde{D})=-\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{\tilde{p}}_k{\log }_2{\tilde{p}}_k$$

多变量决策树（multivariate decision tree）

亦称斜决策树（oblique decision tree）本质上就是把原来的属性划分（特征空间中轴平行axis-parallel式地划分），变成在特征空间的线性划分(线性分类器)，如图所示：