【故事证明和概率公理】

故事证明

  通过故事来证明一些常用的公式

① $C_n^k=C_n^{n-k}$

• 这个的证明相对较为简单，假设我们有10个人要分成两队，两队的人数分别是4人和6人
• 那么先挑出4人队的成员与先挑出6人队的成员结果相同

② $n{C}_{n-1}^{k-1}=k{C}_n^k$

• 假设我们要从$n$个人中选出$k$个人，并将其中的一人指定为统领，那么将会有两种思路
• 思路一：首先从$n$人中选出$k$人，即$C_n^k$，再从$k$个之一选出统领，即$k{C}_n^k$
• 思路二：首先从$n$人中选出一个统领，即$n$，再从$n-1$个人中选出$k-1$个人，即$n{C}_{n-1}^{k-1}$
• 因此$n{C}_{n-1}^{k-1}=k{C}_n^k$

③ $C_{m+n}^k=\sum _{j=0}^k{C}_m^j{C}_n^{k-j}$

• 假定我们要从$m+n$个人中选出$k$个人
• 将$m$和$n$看成单独的两部分，如果我们一共要选出$k$个人，并且从$m$里选出了$j$个人，那么就一定会从$n$里选出$k-j$个人
• 而后将所有可能$j$的取值累加，就是答案
  

生日问题

  问题：如果有$k$个人参加聚会或活动，那么可以找到至少有两个人生日相同的概率是多少？

• 首先因为2月29日出现的概率相对要低一些，因此我们排除2月29日，假设一年有365天，并且我们假设生日是每一天的概率是相同的

• $ifk\ge 365,prob=1$

• 然后我们来看不匹配的可能性，即所有人生日都不相同的可能性:

  $$p=\frac{365\cdot 364\cdot \mathrm{363...}\cdot (365-k+1)}{365^k}$$

  • 显然如果$k=1$，$p=1$
  • 令$p_{match}=1-p$
  • 当$k=23$时，$p_{match}=50.7\%$
  • 当$k=50$时，$p_{match}=97\%$
  • 当$k=100$时，$p_{match}=99.999\%$

• 显然结果是出乎我们的“直觉的”

概率公理

  之前已经给出了概率的狭隘定义，现在将给出概率的non-naive定义：

• 假设我们有样本空间$S$和一个函数$P$，$S$是样本空间，即所有事件的总和，$P$是一个函数，他接收任意事件$A(A\in S)$作为输入，输出$P(A)\in [0,1]$，我们称$P(A)$为事件$A$发生的概率

同时概率有几条公理：

• $P(\varnothing )=0$，$P(S)=1$
• $P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n)if{A}_1\cap A_2\cap ...\cap A_n=\varnothing$

还有几条基于公理发展出来的定理：

• $P(\overline{A})=1-P(A)$

• $ifA\subseteq B\Rightarrow P(A)\le P(B)$

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

  $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cup C)-P(B\cup C)+P(A\cup B\cup C)$