题目背景

永远的神 OneInDark 出了一道没人做得出来的线性代数题，在用这道题击败 EI 大师后，跑到 crashed 门前求战。

但是没想到，crashed 还没完全推开门时，这道题就被祂干碎了，这超出了 OneInDark 对于祂秒切的预期。

“只给我找些线性代数题，这是在看不起我吗！” crashed 怒吼道。话音未落，二神就出现在了思门擂台上。

“看好了，我这次给你出道函数题！……”

OneInDark 端详了一秒，发现不对劲了，“嗯？这不是道生成函数！”

“你已经过了一秒了！哈哈！被创了吧！” crashed 大笑。

但是 OneInDark 立刻超光速把这题切了，使得最终完成时间变成了 $-1\mathrm{ms}$ 。

题面

定义函数 $F(x)={\prod }_{k=0}^{\lfloor \sqrt{x-1}\rfloor }(x-k^2)$ ，求在 $[l,r]$ 中有多少个正整数 $x$ 满足 $F(x)$ 是 $m$ 的倍数。

输入一行 l r m ，输出一行答案。

限制：$1\le l\le r\le 10^{12},2\le m\le 10^6$ ，1 s，128 mb 。

样例

1 1000000000000 1000000
1

599999999844
1

题解

当你完全用做数学题推式子的脑子想这道题，你就输了。

我们不妨修改成 $F(x)={\prod }_{k=0}^{\lfloor \sqrt{x-1}\rfloor }((x-k^2)\mathrm{mod}m)$ ，于是不难发现，$F(x+m)$ 一定是 $F(x)$ 的倍数。

这就意味着，取模 $m$ 相等的一系列 $x$ ，在 $F(x)$ 是否是 $m$ 的倍数这一问题上是单调的。

所以，我们可以求每一个同余类的最小的 $x$ 满足 $F(x)$ 是 $m$ 的倍数。又因为一个 $k^2$ 对于一个同余类的所有数贡献是相等的，所以我们只需要求出 $k^2$ 小于该 $x$ 的最大的 $k$ 就行了。

我们从小到大枚举 $k$ ，并统计 $k$ 的贡献。但是这样暴力是会超时的。

我们不妨将 $m$ 质因数分解，$m=\prod p_i^{w_i}$，对于每个 $p_i$ 单独考虑枚举 $k$ 算贡献，求出各个同余类包含 $p_i^{w_i}$ 的最小时间戳，最后再对每个同余类求时间戳的最大值。

这样每次枚举 $k$ 的时候，从 $k^2\mathrm{mod}m$ 开始跳，每次往后跳 $p_i$ 长度，用链表维护并 $O(1)$ 跳过所有已经包含 $p_i^{w_i}$ 的位置，暴力乘贡献。由于每次计算都会使得一个同余类的 $p_i$ 次数增加，最终到达 $p_i^{w_i}$ 停止，可以证明时间复杂度是 $O(m\log m)$ 的。

总算法时间复杂度 $O(m\log m+\sqrt{r}\log m)$ 。

CODE

#include
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#include
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define PR pair<int,int>
#define UIN unsigned int
int xchar() {
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
// #define getchar() xchar()
inline LL read() {
	LL f = 1,x = 0;int s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
inline void putnum(LL x) {
	if(!x) {putchar('0');return ;}
	if(x<0) putchar('-'),x = -x;
	return putpos(x);
}
inline void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

int MOD = 1;
int n,m,s,o,k;
int dp[MAXN],f[MAXN];
LL c[MAXN];
PR fct[MAXN];
int hd[MAXN],nx[MAXN];
int main() {
	LL l = read(),r = read();MOD = read();
	int nn = MOD;
	for(int i = 2;i*i <= nn;i ++) {
		if(nn % i == 0) {
			int ct = 0;
			while(nn % i == 0) nn /= i,ct ++;
			fct[++ m] = {i,ct};
		}
	}
	if(nn > 1) fct[++ m] = {nn,1};
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		int x = fct[i].FI,w = fct[i].SE,xx = 1;
		for(int j = 0;j < w;j ++) xx *= x;
		for(int j = 0;j < x;j ++) hd[j] = -1;
		for(int j = 0;j < MOD;j ++) {
			f[j] = 1000001,c[j] = 1;
			nx[j] = hd[j%x]; hd[j%x] = j;
		}
		for(int j = 0;j*1ll*j < r;j ++) {
			int ad = j*1ll*j%x,po = j*1ll*j%MOD;
			vector<int> emp;
			int tl = hd[ad]; hd[ad] = -1;
			for(int y = tl;y>=0;y = tl) {
				tl = nx[y];
				int le = (y+MOD-po)%MOD;
				(c[y] *= le) %= MOD;
				if(c[y] % xx == 0) f[y] = j;
				else nx[y] = hd[ad],hd[ad] = y;
			}
		}
		for(int j = 0;j < MOD;j ++) {
			dp[j] = max(dp[j],f[j]);
		}
	}
	LL ans = 0;
	for(int i = 0;i < MOD;i ++) {
		LL st = dp[i]*1ll*dp[i]+1;
		st = st + (MOD-st%MOD+i)%MOD;
		if(st <= r) ans += (r-st)/MOD+1;
		if(st < l) ans -= (l-1-st)/MOD+1;
	}
	AIput(ans,'\n');
	return 0;
}
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