acwing 861. 二分图的最大匹配(匈牙利算法)

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤10⁵

输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2

上面题目将的这么复杂，下面我用简单的例子重新描述一遍
有 n1 个男生和 n2 个女生 (n1 ≤ 500, n2 ≤ 500)。他们之间可以匹配的关系有 m 个 (m ≤ 10⁵)。求最大可能的匹配数。输入格式参考上面。

下面是一位大佬给出的生动而形象例子，通过它可以很好理解该算法的过程

假设现在有一群男同胞和女同胞，而你是这群人中的红娘，现在手上有N1个男同胞，N2个个女同胞，每个人可能对多名异性有好感，有好感在这里用边来表示。如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起；
假如有下面这么一幅图：

现在当作红娘的你，就要尽可能地撮合更过的情侣，此时就用到匈牙利算法的工作模式了

步骤：

• 先试着给1号男同胞找对象，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，撮合这一对，用蓝线表示
  
• 接着给2号男同胞找对象，发现第一个和他相连的2号女生名花无主
  
• 接下来是3号男同胞，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男同胞（也就是1号男同胞）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男同胞相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配重新找个男同胞（这里实际上是一个递归的过程）

此时发现2号男同胞还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

回溯之后的过程应该是下面这种

2号男同胞—3号女主 1号男同胞—2号女主 3号男同胞----1号女主

所以到这里时结果时这样子的

• 接下来就是4号男同胞了， 我们按照之前的步骤，递归向前看，发现，并没有多余选项满足4号男同胞，红娘没法进行匹配，因此最终的结果是最多只能匹配3对情侣

总结一下匈牙利算法核心思想：先得到并不一定是你的，后面匹配的只要有机会就不应该放弃。

也有网友调侃： 先得到可能被绿，后得到的才能把握。

算法实现：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;

int h[N], e[M], ne[M], idx;

//match[j]=a,表示女孩j的现有配对男友是a
int match[N];

//st[]数组我称为临时预定数组，st[j]=a表示一轮模拟匹配中，女孩j被男孩a预定了。
bool st[N];

void add(int a, int b)  // 添加一条边a->b
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 为男同胞 u 找一个对象， (或) u的女朋友被别人预定，给u换一个对象, 如果能找合适， 返回true
int find(int u)
{
	// 链表遍历
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i]; 
        if(!st[j])  // 如果女生没对象
        {
            st[j] = true;   // 将女生 j 预定给男生 x
            // 如果女生 j 没有对象， 或者
        	// 女生 j 在前几轮深搜中已预定有对象，但我们成功给她的对象换了个新对象
            if(match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m -- )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a ,b);
    }
    
    int re = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if(find(i)) re ++;
    }
    
    cout << re << endl;
    return 0;
}

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