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前言

我们先学习什么是“树”，然后学习二叉树的相关内容。

一、树的概念及结构

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <=
• m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

Tips：树形结构中，子树之间不能有交集。

2.树的相关概念

如下图：

3.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
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二、二叉树概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.一些特殊的二叉树

1.满二叉树：每一个层的结点数都达到最大值。
如下图为一个满二叉树：

2.完全二叉树：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
可以理解为一棵满二叉树最后一层的尾部被吃掉了一部分。

3.一些简单的题

1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

【解析】完全二叉树是指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点。根据完全二叉树性质，如果共 2n 个结点，从根结点开始按层序用自然数 1 ， 2 ，…， 2n 给结点编号，则编号为 n 的结点左子结点编号为 2n ，因此叶子结点编号为 n+1,n+2, … ,2n 。故叶子结点个数为 n ，本题答案为 A 选项。

2.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

【解析】设高度为n，由于完全二叉树前n-1层都是满的，节点数的范围为2^（n-1) 到2ⁿ-1，因此n为10

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

【解析】二叉树节点数满足n=n0+n1+n2，这是个完全二叉树，完全二叉树的话n1不是0就是1。节点总数是767个是个奇数，说明这棵树最后一层上节点数必然是偶数，也就是没有那种上一层某个父节点只有一个孩子的情况，所以n1=0.任意二叉树又满足n0=n2+1，就可以接出来n1和n2.

三、二叉树顺序结构及实现

1.二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树
   
   大根堆：父亲都是大于等于孩子
   小根堆：父亲都是小于等于孩子
   需要注意的是，这不是从小到大存的，如上图大根堆中56和30互换，仍为大根堆。

3.堆的实现

Heap.c

#pragma once
#include
#include
#include
#include

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php);

void HeapDestroy(HP* php);

void HeapPush(HP* php,HPDataType x);

void HeapPop(HP* php);

HPDataType HeapTop(HP* php);

bool HeapEmpty(HP* php);

int HeapSize(HP* php);

void HeapPrint(HP* php);

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);

void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent);
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Heap.c

#include"Heap.h"

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		//扩容
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;

	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	//左孩子
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		//比一比选小的
		if (child+1 < size && a[child+1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	
	return php->size;
}

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
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四、二叉树的遍历

1. 层序遍历，自上而下，自左向右的遍历为层序遍历。
2. 前序遍历，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
3. 中序遍历，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
4. 后序遍历，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后
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