旋转矩阵推导过程

旋转矩阵为什么是很多正余弦函数值的集合，旋转矩阵有什么性质？旋转矩阵出现的意义在哪里？二维旋转和三维旋转的表达式有什么不同？

本文首先推导了二维情况下旋转矩阵代数及矩阵表达式，然后将结果推广到三维。

一、二维空间下的旋转矩阵

假设点$P$在坐标系 { B } \{B\} {B}的坐标为 P = { x , y } P=\{x,y\} P={x,y}，此时存在另一坐标系 { A } \{A\} {A}，能否给出相同点$P$在 { A } \{A\} {A}坐标系下的坐标值 P ′ = { x ′ , y ′ } P'=\{x',y'\} P′={x′,y′}？答案是肯定的，前提是已知这两个坐标系 { A } \{A\} {A} { B } \{B\} {B}之间的关系，当两个坐标系之间的关系为纯旋转时，旋转矩阵就是用来描述两个坐标系之间的关系的一种表达。（简单来说，就是已知 { B } \{B\} {B}下的点坐标，求 { A } \{A\} {A}下的点坐标)。如下图：

{ A } \{A\} {A}坐标系逆时针转$\theta$度与 { B } \{B\} {B}中标系完全重合，为了方便描述，我们假设原点到$P$的距离为$r$，考虑坐标系 { B } \{B\} {B}，根据直角坐标系定义有：
$$\begin{gathered} x=r\cos \alpha \\ y=r\sin \alpha \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

考虑坐标系 { A } \{A\} {A}，有：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=r\cos (\alpha +\theta ) \\ {y}^{\prime }=r\sin (\alpha +\theta )\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
展开后的表达式为：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=r(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta ) \\ {y}^{\prime }=r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
将（1）带入（3）得：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ {y}^{\prime }=y\cos \alpha +x\sin \alpha \text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
（4）就是我们要找的，实现同一个点在不同坐标系下的代数表达式，这个表达式完成了由 { A } \{A\} {A}表示的点到 { B } \{B\} {B}坐标系下的点的转换。将其写成矩阵形式：
[ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] [ x y ] (5)

= \tag{5} [x′y′​]=[cosαsinα​−sinαcosα​][xy​](5)
记上式中正余弦值构成的矩阵为${}_A^{B}R$，表示由 { A } \{A\} {A}坐标系切换到 { B } \{B\} {B}的旋转矩阵，对于 { B } \{B\} {B}下所有点都能通过左乘这个旋转矩阵得到。记${}^{B}P$为坐标系 { B } \{B\} {B}下的点，${}^{A}P$为坐标系 { A } \{A\} {A}下的点，所以（5）可写成：
$${}^{A}P{=}_B^A{R}^{B}P\text{\hspace{1em}(6)}$$
所以二维旋转矩阵的表达式为：
B A R = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] (7) ^A_BR=

[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]" role="presentation" style="position: relative;">[cosαsinα−sinαcosα]$$\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$$

\tag{7} BA​R=[cosαsinα​−sinαcosα​](7)

二、三维空间下的旋转矩阵

对于二维空间，旋转绕着$X\times Y$方向进行旋转，从箭头反方向观察旋转行为，顺时针角度为正，逆时针为负，三维空间纯旋转的话，将会有三种情况，分别是沿着坐标系的$X$ $Y$ $Z$反方向观察旋转情况，同样是“顺正逆负”。下面是三种情况旋转一定角度的平面图：



以第一个，绕$Z$旋转为例，说明其旋转矩阵表达式。假设旋转前的点为 O X Y P = { x , y , z } ^{OXY}P=\{x,y,z\} OXYP={x,y,z}，旋转后的点记为 O X ′ Y ′ P = { x ′ , y ′ , z ′ } ^{OX'Y'}P=\{x',y',z'\} OX′Y′P={x′,y′,z′}，原坐标系向新坐标系旋转$\theta$与新坐标完全重合，类似于二维空间下的旋转矩阵的推导：
x ′ = x cos ⁡ α − y sin ⁡ α y ′ = y cos ⁡ α + x sin ⁡ α z ′ = z (8)

\tag{8} x′y′z′​=xcosα−ysinα=ycosα+xsinα=z​(8)
写成矩阵形式：
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1 ] [ x ′ y ′ z ′ ] (9)

[x′y′z′]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$$

=

[cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢cosαsinα0−sinαcosα0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[x′y′z′]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$$

\tag{9} ⎣ ⎡​x′y′z′​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​cosαsinα0​−sinαcosα0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​x′y′z′​⎦ ⎤​(9)
记这个旋转矩阵为$rotz$：
r o t z ( θ ) = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1 ] (10) rotz(\theta)=

[cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢cosαsinα0−sinαcosα0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\tag{10} rotz(θ)=⎣ ⎡​cosαsinα0​−sinαcosα0​001​⎦ ⎤​(10)
同理可以得到$roty$和$rotx$：
r o t y ( θ ) = [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] (11) roty(\theta)=

[cos⁡θ0sin⁡θ010−sin⁡θ0cos⁡θ]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

\tag{11} roty(θ)=⎣ ⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦ ⎤​(11)

r o t x ( θ ) = [ 1 0 0 0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] (12) rotx(\theta)=

\tag{12} rotx(θ)=⎣ ⎡​100​0cosθ−sinθ​0sinθcosθ​⎦ ⎤​(12)

三、点旋转对应旋转矩阵

前面说到的是由于坐标系切换引起的点坐标的变化，如果空间中的一点真的绕某个轴转动，那么这个点应该如何变化？如下图：

$P(x,y)$点逆时针旋转到$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，，旋转前有方程：
$$\begin{gathered} x=r\cos \alpha \\ y=r\sin \alpha \text{\hspace{1em}(13)} \end{gathered}$$
旋转后，半径$r$没有发生改变：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=\cos (\alpha +\theta ) \\ {y}^{\prime }=\sin (\alpha +\theta )\text{\hspace{1em}(14)} \end{gathered}$$
展开后有：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=r\cos \alpha \cos \theta -rsin\alpha \sin \theta \\ {y}^{\prime }=r\sin \alpha \cos \theta +r\cos \alpha \sin \theta \text{\hspace{1em}(15)} \end{gathered}$$
联立方程（13）（15）有：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ {y}^{\prime }=y\cos \theta +x\sin \theta \text{\hspace{1em}(16)} \end{gathered}$$
写成矩阵形式有：
[ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] (17)

=\tag{17} [x′y′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][xy​](17)
令:
R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] R=

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]" role="presentation" style="position: relative;">[cosθsinθ−sinθcosθ]$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

R=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]
（17）可以写成：
$$P^{\prime }=RP\text{\hspace{1em}(18)}$$
因为只涉及到一个坐标系，所以这个矩阵坐标不加任何字母，这个矩阵可以帮助我们计算旋转之后点的坐标，他也被称为旋转矩阵，和坐标系旋转表达式一模一样，对于三维的点实际旋转的旋转矩阵，这里就不作进一步推导。

四、旋转矩阵的意义

旋转矩阵的含义有三个：

• 描述坐标系之间的关系，坐标三个主轴向另一个坐标系三个主轴投影；
• 同点在不同坐标系的转换左乘矩阵；
• 点旋转后在同一坐标系的转换左乘矩阵；

两个坐标系若只存在旋转关系，那么这个关系可以用旋转矩阵来表示，这个关系具有方向性，也就是 { A } \{A\} {A}坐标系到 { B } \{B\} {B}不等于 { A } \{A\} {A}到 { B } \{B\} {B}，但是存在以下关系：
$${}_B^{A}R{=}_A^B{R}^{-1}\text{\hspace{1em}(19)}$$
而且由于旋转矩阵是一个单位正交矩阵，所以有：
$${}_B^{A}R{=}_A^B{R}^T\text{\hspace{1em}(20)}$$
在实际使用中，应该明确这个方向性，假如你已知 { B } \{B\} {B}坐标系下的点${}^{B}P$要求在 { B } \{B\} {B}下的点，那么旋转矩阵的$\theta$变量值，应该是 { A } \{A\} {A}坐标系沿着哪个方向旋转多少角度，如果是顺时针 ，那么这个值应该是负数，反之则是一个正数。

Tips：如何确定旋转矩阵的正负？对于点实际旋转类型的旋转矩阵，应该是旋转前是逆时针旋转多少度到达新的点；对于点在不同坐标系下的旋转矩阵，应该是目标坐标系是如何旋转至现在点所在坐标系的。