傅里叶级数与傅里叶变换_Part3_周期为2L的函数展开为傅里叶级数

0、复习Part2的内容

参考链接：傅里叶级数与傅里叶变换_Part2_周期为2Π的函数展开为傅里叶级数

对于周期为 $T=2\pi$周期函数，即$f\left(x\right)=f\left(x+2\pi \right)$ ，它的傅里叶级数展开形式如下：
$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$
其中，
a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x

a0​=π1​∫−ππ​f(x)dxan​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdxbn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx​

1、周期为2L的函数展开为傅里叶级数

对于，$f\left(t\right)=f\left(t+2L\right)$ ，周期为$T=2L$的函数

如果想用运用Part2掌握的以$T=2\pi$为周期的$f\left(t\right)=f\left(t+2\pi \right)$的傅里级数展开公式，需要做一个换元。

令 $x=\frac{\pi }{L}t\Rightarrow t=\frac{L}{\pi }x$

$f\left(t\right)=f\left(\frac{\pi }{L}x\right)\triangleq g\left(x\right)$

通过换元，我们就把周期为$T=2L$的函数，$f\left(t\right)=f\left(t+2L\right)$ 变成了周期为$T=2\pi$的函数$g\left(t\right)=g\left(t+2\pi \right)$ 。

根据Part2的内容我们知道
$g\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$
其中，
a 0 = 1 π ∫ − π π g ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π g ( x ) cos ⁡ n x d x b n = 1 π ∫ − π π g ( x ) sin ⁡ n x d x

a0​=π1​∫−ππ​g(x)dxan​=π1​∫−ππ​g(x)cosnxdxbn​=π1​∫−ππ​g(x)sinnxdx​
👇
现在要做的，就是把$x=\frac{\pi }{L}t$带进去

$\cos nx=\cos \frac{n\pi }{L}t,\sin nx=\sin \frac{n\pi }{L}t$

$g\left(x\right)=f\left(t\right)$

${\int }_{-\pi }^{\pi }dx={\int }_{-L}^{L}d\frac{\pi }{L}t=\frac{\pi }{L}{\int }_{-L}^{L}dt$

$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }dx=\frac{1}{\pi }\cdot \left(\frac{\pi }{L}{\int }_{-L}^{L}dt\right)=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}dt$

讲上述算出的式子带入到$g\left(x\right)$中。

$f\left(t\right)=g\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi }{L}t\frac{n\pi }{L}t+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi }{L}t\frac{n\pi }{L}t$
其中
a 0 = 1 L ∫ − L L f ( t ) d t a n = 1 L ∫ − L L f ( t ) cos ⁡ n π L t d t b n = 1 L ∫ − L L f ( t ) sin ⁡ n π L t d t

a0​=L1​L1​∫−LL​f(t)dtan​=L1​L1​∫−LL​f(t)cosLnπ​tdtLnπ​tdtbn​=L1​L1​∫−LL​f(t)sinLnπ​tdtLnπ​tdt​

在工程当中，由于时间是$t\ge 0$的，所以$t$是从$0$开始的，假设周期为 $T=2L$，$\omega \triangleq \frac{\pi }{L}=\frac{2\pi }{2L}=\frac{2\pi }{T}$ ，这个$\omega$本质上就是角频率。

再来看积分，因为$-L$ ~ $L$是一个周期， 也$0$ ~ $2L$是一个周期，因此 ${\int }_{-L}^{L}dt\to {\int }_0^{2L}dt\to {\int }_0^{T}dt$，把上述的符号带入到周期为$T=2L$的傅里叶级数展开公式当中，就可以得到。

$f\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\omega t+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\omega t$

a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ⁡ n ω t d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ⁡ n ω t d t

a0​=T2​∫0T​f(t)dtan​=T2​∫0T​f(t)cosnωtdtbn​=T2​∫0T​f(t)sinnωtdt​

伏笔： 考虑，当$T\to \infty$时，$f\left(t\right)$ 不再为周期函数，那时候 $f\left(t\right)$该给如何展开呢？ 这就是傅里叶变换啦。

2、例子

把下图这个函数，傅里叶展开一下

$T=20,\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{20}=\frac{1}{10}\pi$

$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}7dt+\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}3dt=7+3=10$

a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ⁡ n ω t d t = 2 T ∫ 0 T 2 7 cos ⁡ n π 10 t d t + 2 T ∫ T 2 T 3 cos ⁡ n π 10 d t = 1 10 ⋅ ( 70 n π sin ⁡ n π 10 t ∣ 0 10 ) + 1 10 ⋅ ( 30 n π sin ⁡ n π 10 t ∣ 10 20 ) = 1 10 ⋅ ( 0 + 0 ) = 0

an​​=T2​∫0T​f(t)cosnωtdt=T2​∫02T​​7cos10nπ​tdt+T2​∫2T​T​3cos10nπ​dt=101​⋅(nπ70​sin10nπ​t∣ ∣​010​)+101​⋅(nπ30​sin10nπ​t∣ ∣​1020​)=101​⋅(0+0)=0​

b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ⁡ n ω t d t = 2 T ∫ 0 T 2 7 sin ⁡ n π 10 t d t + 2 T ∫ T 2 T 3 sin ⁡ n π 10 d t = 1 10 ⋅ ( − 70 n π cos ⁡ n π 10 t ∣ 0 10 ) + 1 10 ⋅ ( − 30 n π cos ⁡ n π 10 t ∣ 10 20 ) = − 7 n π ( cos ⁡ n π − 1 ) − 3 n π ( cos ⁡ 2 n π − cos ⁡ n π )

bn​​=T2​∫0T​f(t)sinnωtdt=T2​∫02T​​7sin10nπ​tdt+T2​∫2T​T​3sin10nπ​dt=101​⋅(−nπ70​cos10nπ​t∣ ∣​010​)+101​⋅(−nπ30​cos10nπ​t∣ ∣​1020​)=−nπ7​(cosnπ−1)−nπ3​(cos2nπ−cosnπ)​

当 $n$为偶数时，$\cos n\pi =\cos 2n\pi =1$

$b_n=-\frac{7}{n\pi }\left(1-1\right)+-\frac{3}{n\pi }\left(1-1\right)=0$

当 $n$为奇数时，$\cos n\pi =-1,\cos 2n\pi =1$

$b_n=-\frac{7}{n\pi }\left(-1-1\right)-\frac{3}{n\pi }\left[1-\left(-1\right)\right]=\frac{8}{n\pi }$

所以
f ( t ) = 10 2 + ∑ n = 1 ∞ 0 ⋅ cos ⁡ π 10 n t + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ π 10 n t = 5 + ∑ n = 1 ∞ 8 n π ⋅ sin ⁡ n π 10 t , n = 1 , 3 , 5 , 7 , ⋯

f(t)​=210​+n=1∑∞​0⋅cos10π​nt+n=1∑∞​bn​sin10π​nt=5+n=1∑∞​nπ8​⋅sin10nπ​t,n=1,3,5,7,⋯​

下面给出MatLAB仿真结果

MatLAB代码如下:

close all;  clear all;  clc;
 
dt = 0.1;
t = 0:dt:40;
ft = zeros(length(t),1);
for i=1:length(t)
    if (t(i) >= 0 && t(i) <= 10) || (t(i) >= 20 && t(i) <= 30)
        ft(i) = 7;
    else
        ft(i) = 3;
    end
end
figure(1);plot(t,ft,'r-','LineWidth',2);grid on;hold on;axis([0,40,0,10]);
 
FourierSerier0 = 5 * ones(length(t),1);
% n = 1
FourierSerier1 = (8/(1*pi)) * sin((1*pi/10)*t);
% n = 3
FourierSerier3 = (8/(3*pi)) * sin((3*pi/10)*t);
% n = 5
FourierSerier5 = (8/(5*pi)) * sin((5*pi/10)*t);
% n = 7
FourierSerier7 = (8/(7*pi)) * sin((7*pi/10)*t);
% n = 9
FourierSerier9 = (8/(9*pi)) * sin((9*pi/10)*t);
 
% n = 11
FourierSerier11 = (8/(11*pi)) * sin((11*pi/10)*t);
 
Fs5 = FourierSerier0 + FourierSerier1 + FourierSerier3 + FourierSerier5;
Fs5 = Fs5';
 
Fs11 = FourierSerier0 + FourierSerier1 + FourierSerier3 + FourierSerier5 + FourierSerier7 + FourierSerier9 + FourierSerier11;
Fs11 = Fs11';
 
plot(t,Fs5,'b-','LineWidth',1.5); hold on;
plot(t,Fs11,'k-','LineWidth',2.5);hold on;
legend('f(t)','f(t)傅里叶级数（n取到5）',' f(t)傅里叶级数（n取到11）');

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

系列学习链接：欢迎大家点赞、收藏、留言讨论。

傅里叶级数与傅里叶变换_Part0_欧拉公式证明+三角函数和差公式证明

傅里叶级数与傅里叶变换_Part1_三角函数系的正交性

傅里叶级数与傅里叶变换_Part2_周期为2Π的函数展开为傅里叶级数

傅里叶级数与傅里叶变换_Part3_周期为2L的函数展开为傅里叶级数

傅里叶级数与傅里叶变换_Part4_傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数与傅里叶变换_Part5_傅里叶级数推导傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换_Part6_离散傅里叶变换推导

傅里叶级数与傅里叶变换_Part7_离散傅里叶变换的性质