算法基础系列

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前言

差分与前缀和是一家人，互为逆操作，类似于数学中的求导和积分
前缀和的知识点，见之前的文章，点这里

概念

设两个数组 a 和 b
a数组是b数组的前缀和数组
b数组是a数组的差分数组
b[i] = a[i] - a[i-1]

算法问题：
如何在已知数组a的情况下，对a'数组区间中的每一个数加上一个数c，如何快速求出？
暴力思路：for循环，时间复杂度是 $O(n)$
差分算法思路：只对区间两点进行加减，b[l] + c，b[r] - c，

这里的b[l] + c加上c之后，会影响其前缀和数组，使其后面的都加上了c，则需要消除区间外的影响，即在右区间减去c

具体应用：
输入一个长度为 n 的整数序列。接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
首先对序列进行读取，且读取的序列看作是"前缀和数组"，方法是假定前缀和数组都是0，则差分数组(原数组)也是0，对前缀和数组进行加入操作，也就是 [1,1] + a[1] ,则得到了"前缀和数组"，这一步是为了构造差分数组。
再根据题目要求读入操作区间，进行相应操作，最后对差分数组求出前缀和，即使答案

步骤：先根据原数组构造差分数组，然后进行相应操作，最后求前缀和

个人难点：怎么构造差分数组（根据原数组）？
A：把输入的原数组看做是前缀和数组。
假定前缀和数组a(输入的原数组)和差分数组b都是0，对前缀和数组的[i,i]位置上进行插入操作(加上某个数)，即这里加上原数组，即可得到对应的差分数组。配合代码理解

代码模板

一维差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
1

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
1
2

题

差分(典型)

传送门

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]); //输入初始数组
    // 初始前缀和为 0
    // 初始差分为 0
    for (int i = 1; i <= n; i++) //在区间[i,i]上加上a[i]
        insert(i, i, a[i]);      //构造差分数组
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c); //对差分数组进行相应操作
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) //对差分数组求前缀和 即 合并
    {
        b[i] += b[i - 1];
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}
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