一.数制及转换

1.进位计数制

数值标识要素=基数+位权，K进制的基数为k,即逢k进1。

$$(N{)}_k=D_m\ast K^m+D_{m-1}\ast k^{m-1}+....+D_{-n}\ast k^{-n}$$

二进制: 基数为2【0,1】

• 公式: $(N{)}_2=D_m\ast 2^m+D_{m-1}\ast 2^{m-1}+....+D_{-n}\ast 2^{-n}$
• 转10示例

( 1011.1 ) 2 = 1 ∗ 2 3 + 0 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 + 1 ∗ 2 − 1 = 8 + 2 + 1 + 0.5 = 11.5

​(1011.1)2​=1∗23+0∗22+1∗21+1∗20+1∗2−1=8+2+1+0.5=11.5​

八进制:基数为8【0,1,2,3,4,5,6,7】

• 公式: $(N{)}_8=D_m\ast 8^m+D_{m-1}\ast 8^{m-1}+....+D_{-n}\ast 8^{-n}$
• 转10示例

( 35.7 ) 8 = 3 ∗ 8 1 + 5 ∗ 8 0 + 7 ∗ 8 − 1 = 3 ∗ 8 + 5 ∗ 1 + 7 / 8 = 29.875

​(35.7)8​=3∗81+5∗80+7∗8−1=3∗8+5∗1+7/8=29.875​

十六进制: 基数为16【0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)】

• 公式: $(N{)}_{16}=D_m\ast 16^m+D_{m-1}\ast 16^{m-1}+....+D_{-n}\ast 16^{-n}$
• 示例

( 28 A . C ) 16 = 2 ∗ 1 6 2 + 8 ∗ 1 6 1 + A ∗ 1 6 0 + C ∗ 1 6 − 1 = 2 ∗ 256 + 8 ∗ 16 + 10 ∗ 1 + 12 / 16 = 650.75

​(28A.C)16​=2∗162+8∗161+A∗160+C∗16−1=2∗256+8∗16+10∗1+12/16=650.75​

2.数制转换

10进制转2进制

2进制转16进制

1011010.10111 = 1011 ‾   1010 ‾   . 1011 ‾   1000 ‾ = 5 A . B 8

​1011010.10111=1011​1010​.1011​1000​=5A.B8​

二.数值数据的机器表示

1.源码表示法

在计算机中,数的符号+,-和值一样采用二进制0，1编码

• 真值: 一般书写时的数
• 机器数: 机器中的编码

1.原码表示法: 符号为+用0表示,符号-用1表示

2.示例

• $[+0.1001{]}_{原}=0.1001$
• $[-0.1001]原=1.0110$
• $[+0{]}_{原}=0.000...0$
• $[-0{]}_{原}=1.00000$

2.补码表示法

示例

• $[+0]=[-0]=0.000...0$
• $[+0.1001{]}_{补}=0.1001$
• $[-0.0110{]}_{补}=1.0111$

性质

• 补码的零唯一
• 补码减法看化为加分实现
  • $[x+y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[y{]}_{补}$
  • $[x-y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[-y{]}_{补}$

3.反码表示法

示例

• $[+0.1001{]}_{反}=0.1001$
• $[-0.0110{]}_{反}=1.0110$
• $[+0{]}_{反}=0.000...0$
• $[-0{]}_{反}=1.00000$

4.移码表示法

$$[x{]}_{移}=2n+x,-2n\le x<2n$$

示例

• $[+1001]=110001$
• $[-1001]=00111$

三.定点数和浮点数

1.定点数的表示方法

符号: 使用一位二进制表示,0为正,1为负
定点数

• 纯整数:$0\le |x|\le 2^n-1$
• 纯小数:$0\le |x|\le 1-2^{-n}$

2.浮点数

尾数(M): 表示数的有效位数,即小数点的数
阶码(E): 表示小数点的位置
数符(S): 尾数的正负符号(0:正,1:负)
阶符(E): 阶码的正负符号(0:正,1:负)
浮点数据表示:$N=(-1{)}^{s}M{R}^E$

• 浮点数运算结果在不同芯片上不一致

3.浮点数IEEE754标准

IEEE754标准采用三元组{S,E,M}表示浮点数$N=(-1{)}^{s}M{R}^E$

单精度浮点数: N共32位,S占1,E占8,M占23

双精度浮点数: N共64位,S占1,E占11,M占52

当E的二进制位不全为0,1时:$e=E-bias,bias=2^{k-}-1$

• k:E的位数 ,bias:偏移量
• 单精度k=8,bias=127
• 双精度k=11,bias=1023

示例: 453.6875转换为IEEE754浮点数

( 43.6875 ) 1 0 = ( 101011.1011 ) 2 = 1.010111011 ∗ 2 5 , e = 5 S = 0 , E = 5 + 127 = 132 , M = 010111011

​(43.6875)1​0=(101011.1011)2​=1.010111011∗25,e=5S=0,E=5+127=132,M=010111011​

其单精度浮点数表示:$\frac{0}{}\frac{(10000100{)}_2}{(132{)}_{10}}\frac{(01011101100000000000000{)}_2}{(M{)}_2}$
示例: $(41360000{)}_{16}$求10进制浮点数

( 41360000 ) 16 = ( 0   10000010   01101100000000000000000 ) 2 S = 0 , m = 1. M = 1.011011 e = E − 127 = 10000010 − 01111111 = 00000011 = ( 3 ) 10 x = ( − 1 ) s ∗ m ∗ 2 e = + 1.011011 ∗ 2 3 = + 1011.011 = ( 11.375 ) 10

​(41360000)16​=(01000001001101100000000000000000)2​S=0,m=1.M=1.011011e=E−127=10000010−01111111=00000011=(3)10​x=(−1)s∗m∗2e=+1.011011∗23=+1011.011=(11.375)10​​

四.非数值数据机器表示

1.二进制码的十进制数

BCD码: 将十进制数的每个十进制数值编码成一个4位的二进制数

示例: -1265的BCD编码

( 1265 ) 10 = ( 0001   0010   0110   0101 ) 2 ( − 1265 ) 10 = ( 0001   0010   0110   0101   1101 ) 2

​(1265)10​=(0001001001100101)2​(−1265)10​=(00010010011001011101)2​​

2.字符编码

2.1.EBCDIC码

2.2.ASCLL码

ASCLL定义了10个十进制数字,52个英文字母,32个控制字符,32个特殊符号

2.3.统一字符编码标准

Unicode: 以16进制为标准,提供了扩展进制。

• 美式计算机唯一使用的字符编码

2.4.汉字表示

输入方式

• 数字编码: 数字串代表汉字输入码,区位码代表国家公布的94个分区
• 拼音码: 以汉语拼音为基础的输入方式
• 字形编码: 以汉字形状进行编码

汉字编码:

• 手机等移动端至少支持GB2312-80
• PC端至少支持 GB18030

汉字字模码:
在打印和显示时,将汉字作为一个图形元素,图像通过n*n点阵来实现

五.定点数运算及实现

1.补码加减

• 补码表示的两个整数进行计算结果为补码
• $[x_{补}+y_{补}]=[x{]}_{补}+[y{]}_{补}$
• $[x_{补}-y_{补}]=[x{]}_{补}+[-y{]}_{补}$
• 符号位与数值一同进行计算

[ x 补 − y 补 ] = [ x ] 补 + [ − y ] 补 [ 0.1001 + ( − 0.0110 ) ] 补 = 0.1001 + 1.1010 = 0.0011

​[x补​−y补​]=[x]补​+[−y]补​[0.1001+(−0.0110)]补​=0.1001+1.1010=0.0011​

2.加减溢出判别

符号判别法: 当符号相同的数相加的结果符号不同,则溢出
进位位判别法: 当两个补码相加,符号最高位和数值最高位不同则溢出

双符号位法: 当两个正数相加,若两个返回位相同时则无溢出。

3.定点数乘法运算

1001    ∗   1101 ‾ 1001     0000   1001      1001    1001 ‾ 01110101

​1001∗1101​10010000100110011001​01110101​

3.1.原码一位乘法

原码参与计算

• 符号位与数值部分分开进行运算

3.2.补码一位乘法

补码直接参与计算

• 符号位直接参与计算

[ x y ] 补 = [ x ] 补 （ − y 0 + 0 , y 1 y 2 . . . . y n ) = [ x ] 补 ( − y 0 + 2 − 1 y 1 + 2 − 2 y 2 + . . . . + 2 − n y n ) = [ x ] 补 [ − y 0 + ( y 1 − 2 − 1 y 1 ) + ( 2 − 1 y 2 − 2 − 2 y 2 ) + . . . + ( 2 − n + 1 y n − 2 − n y n ) ] = [ x ] 补 [ ( y 1 − y 0 ) + 2 − 1 ( y 2 − y 1 ) + . . . + 2 − n + 1 ( y n − y n − 1 ) + 2 − n ( 0 − y n ) ]

​[xy]补​=[x]补​（−y0​+0,y1​y2​....yn​)=[x]补​(−y0​+2−1y1​+2−2y2​+....+2−nyn​)=[x]补​[−y0​+(y1​−2−1y1​)+(2−1y2​−2−2y2​)+...+(2−n+1yn​−2−nyn​)]=[x]补​[(y1​−y0​)+2−1(y2​−y1​)+...+2−n+1(yn​−yn−1​)+2−n(0−yn​)]​

4.定点除法运算

$$x=0.1011,y=0.1101,计算x/y$$

4.1 原码一位除法

原码参与计算

• 符号位与数值部分分开进行运算

4.2 补码一位除法

补码直接参与计算

• 符号位直接参与计算

六.浮点数计算

1.浮点数的加减计算

二进制浮点数表示$N=2^{E}M$
计算流程