【02矩阵消元】

首先给出我们要求解的方程组： { x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 \left\{

\right. ⎩⎨⎧​x+2y+z3x+8y+z4y+z​=2=12=2​

那么我们可以得到其系数矩阵$A$： A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] A=\left[ {

} \right] A=⎣⎡​121381041​⎦⎤​
以及解向量$b$： b = [ 2 12 2 ] b=\left[ {

2122$$\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}$$

} \right] b=⎣⎡​2122​⎦⎤​
对于常规的消元法，我们从小学开始解二元方程组就开始使用，下面重点讲解矩阵消元法，即用矩阵语言描述消元法

此时我们的目标变成了求解$A\text{X}=b$，其中$X$是未知数向量

对于系数矩阵$A$，我们对其进行消元，其中$A$的每列都代表一个未知数的系数，我们消元的思想是对于每一行对比与上一行都要减少一个未知数，（即未知数的系数为0）

• 首先我们固定第一行，让第二行的$x$对应的系数为0，我们的做法可以是让第二行减去3倍的第一行，我们可以得到： [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] \left[ {

  12102−2041$$\begin{array}{c}121\\ 02-2\\ 041\end{array}$$
  } \right] ⎣⎡​12102−2041​⎦⎤​

• 然后我们固定第二行，让第三行的$y$对应的系数为0，让第三行减去2倍的第二行，可以得到： [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] \left[ {

  12102−2005$$\begin{array}{c}121\\ 02-2\\ 005\end{array}$$
  } \right] ⎣⎡​12102−2005​⎦⎤​

• 我们称上面的矩阵为$U$，他是个上三角矩阵，我们称对角线上的元素为主元，其不能为0，否则我们的消元就没有了意义

此时我们只考虑了系数矩阵$A$ ，但是如果我们把$b$也加进去，形成一个新的矩阵，我们称其为增广矩阵，那么在$A$进行线性变换的同时，$b$也应该随之变化，我们可以得到： [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 0 5 − 10 ] \left[ {

} \right] ⎣⎡​121202−26005−10​⎦⎤​

• 我们将变化后的$b$记作$c$

此时我们经过回代可以得到$U\text{X}=c$： { x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 \left\{

\right. ⎩⎨⎧​x+2y+z2y−2z5z​=2=6=−10​

因此我们可以轻易的求解得： { x = 2 y = 1 z = − 2 \left\{

\right. ⎩⎨⎧​xyz​=2=1=−2​

之前有提到过矩阵与列向量相乘可以看做是对矩阵各列的线性组合： [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] [ 2 12 2 ] = 2 [ 1 3 0 ] + 12 [ 2 8 4 ] + 2 [ 1 1 1 ] \left[ {

} \right]\left[ { } \right]=2\left[ { } \right]+12\left[ { } \right]+2\left[ { } \right] ⎣⎡​121381041​⎦⎤​⎣⎡​2122​⎦⎤​=2⎣⎡​130​⎦⎤​+12⎣⎡​284​⎦⎤​+2⎣⎡​111​⎦⎤​

如果是行向量与矩阵相乘呢？比如： [ 2 12 2 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] \left[ {

} \right]\left[ { } \right] [2122​]⎣⎡​121381041​⎦⎤​
我们仍然可以看做是对矩阵各行的线性变换： [ 2 12 2 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = 2 [ 1 2 1 ] + 12 [ 3 8 1 ] + 2 [ 0 4 1 ] \left[ {

2122$$\begin{array}{c}2122\end{array}$$

} \right]\left[ {

121381041$$\begin{array}{c}121\\ 381\\ 041\end{array}$$

} \right]=2\left[ {

121$$\begin{array}{c}121\end{array}$$

} \right]+12\left[ {

381$$\begin{array}{c}381\end{array}$$

} \right]+2\left[ {

041$$\begin{array}{c}041\end{array}$$

} \right] [2122​]⎣⎡​121381041​⎦⎤​=2[121​]+12[381​]+2[041​]

下面看如何从矩阵的角度理解消元法

• 我们做的第一次变换为行1、行3不变，行2减去三倍的行1，我们假设变换后的矩阵是由一个矩阵乘原始矩阵得到的即： [ x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] \left[ {

  x11x12x13x21x22x23x31x32x33$$\begin{array}{c}{x}_{11}{x}_{12}{x}_{13}\\ x_{21}{x}_{22}{x}_{23}\\ x_{31}{x}_{32}{x}_{33}\end{array}$$
  } \right]\left[ {
  121381041$$\begin{array}{c}121\\ 381\\ 041\end{array}$$
  } \right]=\left[ {
  12102−2041$$\begin{array}{c}121\\ 02-2\\ 041\end{array}$$
  } \right] ⎣⎡​x11​x12​x13​x21​x22​x23​x31​x32​x33​​⎦⎤​⎣⎡​121381041​⎦⎤​=⎣⎡​12102−2041​⎦⎤​
  • 至于变换后矩阵的第一行我们可以看作是 [ x 11 x 12 x 13 ] \left[ {
    x11x12x13$$\begin{array}{c}{x}_{11}{x}_{12}{x}_{13}\end{array}$$
    } \right] [x11​x12​x13​​]对原始矩阵进行线性变换得到的，其仍等于第一行，我们可以轻易的解得$[100]$，同理我们可以解得第三行为$[001]$

• 第二行是行2减去三倍的行一，因此我们可以得到第二行为$[-310]$

• 由此可以得到未知数矩阵为： [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] \left[ {

  100−310001$$\begin{array}{c}100\\ -310\\ 001\end{array}$$
  } \right] ⎣⎡​100−310001​⎦⎤​
  我们称其为初等矩阵，记作$E_{21}$来表示其让2行1列位置元素变为0的目的

• 接下来我们可以求得 E 31 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] E_{31}=\left[ {

  100010001$$\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}$$
  } \right] E31​=⎣⎡​100010001​⎦⎤​
  我们称这种矩阵为单位矩阵，相当于数字中的1，任何矩阵与它相乘都等于其本身

• 进而求得 E 32 = [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] E_{32}=\left[ {

  1000100−21$$\begin{array}{c}100\\ 010\\ 0-21\end{array}$$
  } \right] E32​=⎣⎡​1000100−21​⎦⎤​

整体来看我们可以得到：$$E_{32}(E_{31}(E_{21}A))=U$$
那么是否存在一个矩阵，其与$A$相乘可以直接得到$U$

• 矩阵的乘法虽然不可以改变位置，但是可以改变先后顺序，因此我们可以得到：$$(E_{32}{E}_{31}{E}_{21})A=U$$
• 即三个初等变换矩阵的乘积就是我们想要得到的矩阵$E$

置换矩阵

• 如果我们想要交换一个矩阵的两行，就需要使用置换矩阵，我们常常称其为$P$，例如： [ 0 1 1 0 ] [ a b c d ] = [ c d a b ] \left[ {

  0110$$\begin{array}{c}01\\ 10\end{array}$$
  } \right]\left[ {
  abcd$$\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}$$
  } \right]= \left[ {
  cdab$$\begin{array}{c}cd\\ ab\end{array}$$
  } \right] [0110​][abcd​]=[cdab​]

• 但是如果我们想交换矩阵的两列呢？我们只需要右乘一个P即可： [ a b c d ] [ 0 1 1 0 ] = [ b a d c ] \left[ {

  abcd$$\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}$$
  } \right]\left[ {
  0110$$\begin{array}{c}01\\ 10\end{array}$$
  } \right]= \left[ {
  badc$$\begin{array}{c}ba\\ dc\end{array}$$
  } \right] [abcd​][0110​]=[badc​]

由此我们可以得到，如果想要对一个矩阵的行进行变换，我们对其左乘初等矩阵或转置矩阵即可；如果想要对一个矩阵的列进行变换，我们对其右乘初等矩阵或转置矩阵即可。

同时可以得到矩阵满足结合律，而不满足交换律

简单引出逆矩阵

• 前面有提到第一步的初等变 E 21 = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] E_{21}=\left[ {

  100−310001$$\begin{array}{c}100\\ -310\\ 001\end{array}$$
  } \right] E21​=⎣⎡​100−310001​⎦⎤​

• 但如果现在我们想取消这一步骤，让变换后的矩阵变为原来的矩阵$$E_{21}A=U$$

• 那么我们主需要找到一个矩阵$E^{-1}$，使得$E^{-1}{E}_{21}=I$即可，其中$I$为单位矩阵（因为单位矩阵乘任何矩阵都等于其本身）

• 我们称$E^{-1}$为$E_{21}$的逆矩阵，因为其操作跟原始矩阵是相逆的，之前我们是1、3行不变，第二行减去三倍的第一行，因此我们只需要将第二行加回来即可： E − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] E^{-1}=\left[ {

  100310001$$\begin{array}{c}100\\ 310\\ 001\end{array}$$
  } \right] E−1=⎣⎡​100310001​⎦⎤​