控制系统分析2（线性系统稳定性、和可控性）

一、开闭环系统稳定性和收敛性

1. Open loop（开环系统）

某LTI线性时不变系统如下，

如上一节”控制系统分析1（系统稳定性和收敛性）“所讲，
开环系统矩阵A的特征值决定系统稳定性，收敛速度。

2. Close loop（闭环系统）

闭环系统的状态（空间）矩阵(Acl)，通过选取k的值，使得新的矩阵Acl的特征值在一个希望的位置上，从而改变稳定性，收敛速度。

3. 举例1

某二阶系统，开环形式：

计算系统矩阵A的特征值为：

存在极点大于0，所以该系统不稳定，为了得到稳定的状态，设计u如下

闭环形式：

通过选取合适的k，使得闭环状态矩阵Acl的特征值都小于0，如果是复数，则实部<0，系统才会收敛，稳定。
比如可令Acl的两个特征值都为-1，则解出k1=0.5,k2=5。

如何设计Acl的特征值？，有以下原则
(1) 实部要小于0；
(2) 特征值的大小决定了收敛速度，保证稳定性情况下，越小收敛越快。

二、系统可控性

同样的，某二阶系统如下

计算开环系统矩阵特征值为：

两个特征值都大于0，为了得到稳定的状态，设计u，得闭环系统方程


k无解，为什么？

为什么k1，k2无解，原来系统可控矩阵不满秩，所以系统不可控。
结论：
1、系统不稳定，为了得到稳定的状态，设计u，通过设计合适得闭环系统矩阵Acl的特征值，使得系统达到稳定。
2、系统不稳定，可以通过闭环控制使其稳定，前提是系统可控，所以分析系统首先分析系统是不是可控的。