1. 要求

在平面XOZ上，椭圆的表达式为，椭圆曲线绕Z轴旋转一周得到椭球。点B在椭球上运动，已知A、C两点坐标。求B点坐标，满足B到A、C的距离之和最短。

2. 分析

参考

如何求椭圆绕x轴旋转一周后的曲面方程? - 知乎 (zhihu.com)https://www.zhihu.com/question/334080006?可以计算椭球方程如下

记A(ax, ay, az)，B(bx, by, bz)，C(cx, cy, cz)， 则AB、BC的距离可以表示为：

目标函数为

其中满足 

3. 代码

首先通过如下代码设置A、C两点的坐标

%% 设置A、C坐标
cx = 0.5; cy = 2; cz = 1;
ax = 0; ay = 0; az = 0;
A = [ax, ay, az];
C = [cx, cy, cz];

接着设置椭圆的参数a和c

%% 设置椭圆参数
a = 1; c = 3;

确定目标函数。用来求解两点之间的距离， fun是匿名函数，输入参数为B，输出为AB和AC的距离之和

%% 目标函数
fun = @(B) norm(A-B) + norm(C-B);

 使用fmincon寻找约束非线性多变量函数的最小值，设置约束条件

%% 设置约束条件和初始点
B0 = [0 a 0];
AA = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
cc = @(B) [];
ceq = @(B) (B(1)*B(1)+B(2)*B(2))/a^2 + B(3)*B(3)/c^2 - 1;
nonlcon = @(B) deal(cc(B), ceq(B));

最后求解点B的最优位置

%% 求解
B = fmincon(fun,B0,AA,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

完整代码如下

%% 设置A、C坐标
cx = 0.5; cy = 2; cz = 1;
ax = 0; ay = 0; az = 0;
A = [ax, ay, az];
C = [cx, cy, cz];
%% 设置椭圆参数
a = 1; c = 3;
%% 目标函数
fun = @(B) norm(A-B) + norm(C-B);
%% 设置约束条件和初始点
B0 = [0 a 0];
AA = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
cc = @(B) [];
ceq = @(B) (B(1)*B(1)+B(2)*B(2))/a^2 + B(3)*B(3)/c^2 - 1;
nonlcon = @(B) deal(cc(B), ceq(B));
%% 求解
B = fmincon(fun,B0,AA,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)