本文参考书籍《最优化计算方法》，若侵权请联系删除

目录

1 凸集的相关定义

1.1 凸集、仿射集

1.2 凸组合、凸包 

1.3 重要的凸集

1.3.1 超平面与半空间

1.3.2 球、椭球、锥

​1.3.3 多面体

1.4 保凸运算

2 分离超平面定理

3 凸函数

3.1 凸函数、严格凸函数、强凸函数

3.2 一阶条件

3.3 二阶条件

4 保凸运算

5 共轭函数

6 次梯度

---

1 凸集的相关定义

1.1 凸集、仿射集

 可见仿射集一定是凸集，但是要注意凸集的边界是开还是闭

1.2 凸组合、凸包 

 同理可得仿射组合与仿射包

1.3 重要的凸集

1.3.1 超平面与半空间

可以通过降维的方式去理解超平面与半空间

1.3.2 球、椭球、锥

1.3.3 多面体

1.4 保凸运算

 2 分离超平面定理

3 凸函数

3.1 凸函数、严格凸函数、强凸函数

 强凸函数减去一个正定二次函数仍然是凸函数，强凸函数一定是严格凸函数，而当强凸参数为0时，则退化成凸函数。

3.2 一阶条件

还可以用其梯度信息来判断是否是凸函数

其实也可以描述成凸函数始终在某一点切线的上方，也就可以通过任意一点的一阶近似得到可微凸函数的全局下界

还可以用梯度单调性来判断

凸函数仅当其梯度为单调映射且定义域为凸集的时候

3.3 二阶条件

若函数的二阶梯度也就是嗨森矩阵是半正定的，此函数就是凸函数

4 保凸运算

5 共轭函数

共轭函数相当于是线性函数与原函数的最大差值，它是一系列y的凸函数的逐点上确界，所以共轭函数一定是凸函数 

6 次梯度

当一个函数在某点无法求梯度时，我们便引入次梯度

（1）函数是凸函数

（2）次梯度是一个集合，很多向量满足

（3）当函数可导时，梯度等于次梯度