TOPSIS法

译为：逼近理想解排序法，常简称为优（最大值）劣（最小值）解距法。

是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反应各评价方案之间的差距。

指标可分为：（可能题目中都涉及）

1.极大型指标(效益型指标) ：比如成绩 越高越好

2.极小型指标(成本型指标) :   比如与他人争吵次数 越少越好

在处理前，首先需要 统一指标类型

将所有指标转化为极大型称为 指标正向化（最常用）

极小转极大公式： max-x

为消除不同指标量纲(即单位)的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理

标准化处理计算公式：

 如何计算评价对象的得分？

 TOPSIS法步骤总结：

一：将原始矩阵正向化（即将所有指标类型统一转化为极大型指标【但 转换的函数形式可以不唯一：例：若原始元素均为正数，则可以使用1/x】）

 二：正向化矩阵标准化（消除量纲影响）

 三：计算得分并归一化

方法局限：默认每个指标权重相同了

方法改进：增加权重w（带权重的topsis法）

 可以使用层次分析法给m个指标确定权重(也可以通过比较客观的方法确定)

然后根据代码提示输入权重列表即可）

代码实现（MATLAB）：

TOPSIS.m

clear;clc
%% 第一步：将数据另存为.mat数据
load data.mat %加载数据
%% 第二步：判断（通过观察数据选择）是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);
if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end
%% 让用户判断是否需要增加权重
disp('请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0')
Judge1 = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge1 == 1
    disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
    weigh = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
    OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
    while OK == 0 
        if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m   % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。
             OK =1;
        else
            weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
        end
    end
else
    weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);%队列求平方和开根
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S) %归一化的得分
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') %按得分从大到小排序并输出其原始索引位置

Positivization.m(正向化处理函数文件) 

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = max(x) - x;
        %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        M = max(abs(x-best));
        posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b); %调用区间型转换函数（上面两个较短，也可以单独写在一个函数文件里)
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

 Inter2Max.m(区间型正向化函数文件) 

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % x的行数即对象个数， 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);  % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x %区间型正向化公式
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end