一、定义

1.1 概念引入

        相关函数是用于定性描述两个信号之间的相关程度，两个信号之间的线性相似性大小可用相关系数定量计算。计算公式为：

        相关系数的定义及相关性质详见：【20220623】【信号处理】深入理解Pearson相关系数和Matlab corr()、corrcoef()仿真_Satisfying的博客-CSDN博客

        相关函数可分为自相关函数、互相关函数和协方差函数，本文重点介绍自相关函数。

1.2 自相关定义

        自相关函数是描述某一个随机信号在不同时刻之间的相关程度，定义式为：

        对于连续信号，定义式为：

 

        对于离散信号，定义式为：

1.3 一个小例子 

        假如有一个时间序列 ，根据离散信号的定义，做如下计算：

        解释：虽然相关函数定义是从负无穷到正无穷，但是移位之后有交叉的部分乘积才不为零，因此只计算交叉部分即可。因此，长度为 10 的时间序列，自相关函数的结果是 1*19 的数组。

二、性质

1. 自相关函数是偶函数，自相关系数曲线关于  对称；
2. 当  时，自相关函数取得最大值，即：，其物理意义为信号的均方值；
3. 周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

三、Matlab 仿真

        Matlab 中求时间序列自相关的函数命令为：xcorr()

%% 自相关函数
clear; clc; close all; warning off;
 
xn = 1 : 10;
[xn_autoxcorr, tau]= xcorr(xn);  % 时间序列xn的自相关函数曲线
figure(1); clf;
plot(tau, xn_autoxcorr, 'linewidth', 1.2); 
xlabel('\tau'); ylabel('自相关系数'); title('xn的自相关函数曲线');
set(gca, 'fontsize', 14);

四、应用