MCS：离散随机变量——几何分布

Geometric

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在$n$次伯努利试验中，试验$k$次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前$k-1$次皆失败，第$k$次成功的概率，每次实验中成功的概率$p$保持不变。几何分布是帕斯卡分布当$r=1$时的特例。

$$P(k)=p(1-p{)}^{k-1}，k=1,2,...$$

$$F(k)=1-(1-p{)}^k，k=1,2,...$$

$$E(k)=\frac{1}{p}$$

$$V(k)=\frac{1-p}{p^2}$$

当变量$x^{\prime }$定义为实验第一次成功时失败的次数，$x^{\prime }=k-1$:

$$P(x^{\prime })=p(1-p{)}^{x^{\prime }}$$

$$F(x^{\prime })=1-(1-p{)}^{x^{\prime }+1}$$

$$E(x^{\prime })=E(x)-1=(1-p)/p$$

$$V(x^{\prime })=V(x)=(1-p)/p^2$$

生成几何分布的随机变量$k$:

1. 生成随机连续均匀变量：$u\sim U(0,1)$
2. $x=int[\frac{ln(1-u)}{ln(1-p)}]+1$

例：假设一个实验成功的概率为$p=0.2$，随机几何变量$x$为该实验第一次成功是尝试的次数，生成一个随机几何变量：

1. 生成随机均匀变量：$u\sim U(0,1)，u=0.27$
2. $x=int(ln(1-0.27)/ln(1-0.2))+1=2$

模拟生成随机几何变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
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def generate_geometric(p=0.1):
    u = np.random.uniform(0, 1)
    x = int(np.log(1 - u)/ np.log(1 - p)) + 1
    return x
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