数集最大数（最大值）或最小数（最小值）可能不存在，因此引入上确界或下确界（上确界：最小上界；下确界：最大上界）
数集没有上界，则上确界为
+
∞
+\infty
+∞；数集有最大数，则上确界为最大数；数集没有下界，则下确界为
−
∞
-\infty
−∞；数集有最小数，则下确界为最小数
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}为数列，
A
∈
R
A\in R
A∈R，如果任给
ϵ
>
0
\epsilon > 0
ϵ>0，都存在正整数
N
=
N
(
ϵ
)
N=N(\epsilon)
N=N(ϵ)，使得
n
>
N
n>N
n>N时，有
∣
a
n
−
A
∣
<
ϵ
|a_n-A|<\epsilon
∣an−A∣<ϵ
则称
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}以
A
A
A为极限，
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}收敛于
A
A
A
记为
l
i
m
n
→
∞
a
n
=
A
lim_{n\rightarrow \infty} a_n = A
limn→∞an=A
或
a
n
→
A
(
n
→
∞
)
a_n\rightarrow A(n\rightarrow \infty)
an→A(n→∞)
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}为数列，如果任给
ϵ
>
0
\epsilon > 0
ϵ>0，都存在
N
=
N
(
ϵ
)
N=N(\epsilon)
N=N(ϵ)，使得
m
,
n
>
N
m,n>N
m,n>N时，有
∣
a
m
−
a
n
∣
<
ϵ
|a_m-a_n|<\epsilon
∣am−an∣<ϵ
则称
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}为基本列或Cauchy数列
数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}有极限，则极限唯一
数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}收敛，则数列有界
数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}收敛到
A
A
A，则
{
∣
a
n
∣
}
\{|a_n|\}
{∣an∣}收敛到
A
A
A
数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}收敛到
A
A
A，数列
{
b
n
}
\{b_n \}
{bn}收敛到
B
B
B，则有：1、如果存在
N
0
N_0
N0，当
n
>
N
0
n>N_0
n>N0时
a
n
≥
b
n
a_n \geq b_n
an≥bn，则
A
≥
B
A\geq B
A≥B；2、如果
A
>
B
A>B
A>B，则存在
N
N
N，使得当
n
>
N
n>N
n>N时
a
n
>
b
n
a_n > b_n
an>bn
数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}收敛到
A
A
A，数列
{
b
n
}
\{b_n \}
{bn}收敛到
B
B
B，则有：1、
α
a
n
+
β
b
n
\alpha a_n + \beta b_n
αan+βbn收敛到
α
A
+
β
B
\alpha A + \beta B
αA+βB，2、
{
a
n
b
n
}
\{a_nb_n\}
{anbn}收敛到
A
B
AB
AB，3、当
B
≠
0
B\neq 0
B=0时，
{
a
n
/
b
n
}
\{a_n/b_n\}
{an/bn}收敛到
A
/
B
A/B
A/B
数列收敛到
A
A
A，则其任何子列也收敛到
A
A
A
数列的偶子列与奇子列均收敛到
A
A
A，则数列也收敛到
A
A
A
注：子列是按顺序从原数列中抽取无限多项而构成的
Cauchy数列必定是有界数列
{
a
n
}
\{a_n \}
{an}为Cauchy数列，当且仅当它是收敛的
数列 { x n } , { y n } \{x_n\}, \{y_n\} {xn},{yn}， l i m n → ∞ y n = + ∞ lim_{n\rightarrow \infty} y_n = +\infty limn→∞yn=+∞， { y n } \{y_n\} {yn}严格单调，如果 l i m n → ∞ x n − x n − 1 y n − y n − 1 = A lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} = A limn→∞yn−yn−1xn−xn−1=A，则 l i m n → ∞ x n y n = A lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} = A limn→∞ynxn=A
数列
{
x
n
}
,
{
y
n
}
\{x_n\}, \{y_n\}
{xn},{yn}，
l
i
m
n
→
∞
y
n
=
0
lim_{n\rightarrow \infty} y_n = 0
limn→∞yn=0，
l
i
m
n
→
∞
x
n
=
0
lim_{n\rightarrow \infty} x_n = 0
limn→∞xn=0，
{
y
n
}
\{y_n\}
{yn}严格单调递减，如果
l
i
m
n
→
∞
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
A
lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} = A
limn→∞yn−yn−1xn−xn−1=A，则
l
i
m
n
→
∞
x
n
y
n
=
A
lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} = A
limn→∞ynxn=A
注：严格单调递增：
x
1
>
x
2
x_1>x_2
x1>x2时，有
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
f(x_1)>f(x_2)
f(x1)>f(x2)；单调递增：
x
1
>
x
2
x_1>x_2
x1>x2时，有
f
(
x
1
)
≥
f
(
x
2
)
f(x_1)\geq f(x_2)
f(x1)≥f(x2)
Caantor闭区间套原理：
{
[
a
n
,
b
n
]
}
\{[a_n,b_n]\}
{[an,bn]}为递降闭区间套序列，如果
l
i
m
n
→
∞
(
b
n
−
a
n
)
=
0
lim_{n\rightarrow \infty}(b_n-a_n)=0
limn→∞(bn−an)=0，则存在惟一的点
c
c
c，使得
c
∈
[
a
n
,
b
n
]
,
∀
n
≥
1
c\in [a_n,b_n], \forall n \geq 1
c∈[an,bn],∀n≥1
实数集
R
R
R是不可数集
有理数集
Q
Q
Q是可数集
R R R中有界数列必有收敛子列
如果
x
0
∈
R
,
δ
>
0
x_0 \in R, \delta > 0
x0∈R,δ>0，则
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
(x_0 - \delta, x_0 + \delta)
(x0−δ,x0+δ)是
x
0
x_0
x0的一个开邻域
对任意
x
0
∈
A
x_0 \in A
x0∈A, 均存在
δ
>
0
\delta > 0
δ>0，使得
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
⊂
A
(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset A
(x0−δ,x0+δ)⊂A，则称
A
A
A为
R
R
R中的开集
如果数集的补集为开集，则数集为闭集
空集与
R
R
R既是开集也是闭集
(
a
,
b
)
,
(
a
,
+
∞
)
,
(
−
∞
,
b
)
(a,b),(a,+\infty),(-\infty,b)
(a,b),(a,+∞),(−∞,b)为开集
[
a
,
b
]
,
[
a
,
+
∞
)
,
(
−
∞
,
b
]
[a,b],[a,+\infty),(-\infty,b]
[a,b],[a,+∞),(−∞,b]为闭集
[
0
,
1
)
[0,1)
[0,1)既不是开集也不是闭集
有限点集和
Z
Z
Z为闭集
R
R
R中的非空数集
A
A
A既是开集又是闭集，当且仅当
A
=
R
A=R
A=R
A
⊂
R
A \subset R
A⊂R，如果
A
A
A的任何开覆盖均存在有限子覆盖，则称
A
A
A是紧致集合
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]的任何开覆盖都有有限子覆盖
R
R
R中的有限闭集都是紧致集合
R
R
R中的数集
A
A
A为紧致集合，当且仅当
A
A
A为有界闭集
Bolzano定理可推出Cauchy准则，Cauchy准则可推出确界原理
A
A
A为数集，
x
0
∈
A
x_0 \in A
x0∈A，如果存在
δ
>
0
\delta > 0
δ>0，使得
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
⊂
A
x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset A
x0−δ,x0+δ)⊂A，则称
x
0
x_0
x0为
A
A
A的内点
如果
{
A
n
}
\{A_n\}
{An}是一列没有内点的闭集，则它们的并集也没有内点
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)中的点均为
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]的内点
Q
,
R
−
Q
Q, R-Q
Q,R−Q均无内点