一、四元数定义与性质

1.1 定义

四元数的定义繁多，由凯里迪克森创建的一种定义我认为是比较有吸引力的。首先我们有两个复数，$A=a+bi,C=c+di$. 现在增加一个自由度，令：$Q=A+Cj$. 同时令：$k=ij$, 这样就生成了四元数空间。

从公式1的定义中可知，实数、虚数、实虚数组合，都是属于四元数的子空间。

值得注意的是，不同的作者会定义不同的四元数，有的人把实数虚数的位置放得不一样。matlab中的四元数采用的是本文作者定义的方式。eigen中也是作者的这种定义方式。ros中的稍微有点不同，在官网上还做了说明：ROS uses quaternions to track and apply rotations. A quaternion has 4 components (x,y,z,w). That’s right, ‘w’ is last (but beware: some libraries like Eigen put w as the first number!)

1.1.1 其他四元数的表示

使用公式7所示的四元数，将实部和虚部分开。在slam中，我们使用四元数来表示三维旋转，所以一般的表示方法是(w,x,y,z)

1.2 四元数性质

• 加减法
• 乘法，公式13给了四元数相乘的结果。
• 单位一
• 共轭
• 模长定义
• 逆
• 单位四元数，当为单位四元数时，共轭就是其逆

1.3 其他额外四元数性质

1.3.1 四元数换向器

// TODO

1.3.2 纯四元数的乘积

通过标准的乘积，去掉实数，然后假设两个相乘的纯四元数是一个，然后再假设他是一个单位四元数。最后推出来一个结论，不知道后面会不会有用。

纯虚四元数，就是“四元数可视化”中的那个三维球。

1.3.3 纯四元数的自然幂

也就是多次与自己的乘积；从theta的定义可以看出，它并不是表示旋转角度，它只是一个定义而已。

1.3.4 纯四元数指数

纯四元数的指数，与四元数的指数一样，都被定义成了幂级数。

纯四元数的指数，恰好是一个新的四元数。而且是一个单位四元数。

当角度趋近于0的时候，这个新四元数就是单位四元数

1.3.5

因为对于一般四元数来说，可以拆分成实部和虚部，然后进行计算。

1.3.6

单位四元数的对数是纯虚四元数

//TODO 公式49没太明白是怎么来的。

1.3.7

一般四元数的对数。构造单位四元数。

1.3.8

四元数的t次方，利用log和exp把t次方拿到外面去，利用单位四元数的对数，是纯虚四元数。
公式53又利用了纯虚四元数的指数。

有疑问的点

• 1. 1.2.7章节，公式32，单位四元数都可以写成这种形式，但是求出来的theta角度，只有原始欧拉角的一半？这是为什么呢
  1. 有没有可能这个theta角，就跟你理解的不是一个，是的，不是那个角度。公式38对此有说明