ACM. HJ70 矩阵乘法计算量估算 ●●

HJ70 矩阵乘法计算量估算 ●●

描述

矩阵乘法的运算量与矩阵乘法的顺序强相关。
例如：
A是一个50×10的矩阵，B是10×20的矩阵，C是20×5的矩阵
计算ABC有两种顺序：((AB)C)或者(A(BC))，前者需要计算15000次乘法，后者只需要3500次。
编写程序计算不同的计算顺序需要进行的乘法次数。

数据范围：矩阵个数：$1\le n\le 15$，行列数：$1\le ro{w}_i,co{l}_i\le 100$，保证给出的字符串表示的计算顺序唯一。
进阶：时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$

输入描述：

输入多行，先输入要计算乘法的矩阵个数 n，每个矩阵的行数，列数，总共 2n 的数，最后输入要计算的法则；
计算的法则为一个字符串，仅由左右括号和大写字母（‘A’~‘Z’）组成，保证括号是匹配的且输入合法！

输出描述：

输出需要进行的乘法次数

示例

输入：
3
50 10
10 20
20 5
(A(BC))
输出：
3500

题解

1. 栈

首先要知道矩阵运算的过程和规律，

以 $[m,n]$ 表示 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，以 $[m,n]\ast [n,p]$ 为例进行矩阵乘法规则说明：

• 第一个矩阵取一行，第二个矩阵取一列，计算时是对应相乘，有 $n$ 次乘法。
• 还是第一个矩阵刚参加运算的那行，第二个矩阵的所有列（共 p 列），会有 $n\ast p$ 次乘法
• 第一个矩阵的所有行（共 $m$ 行）参加运算，共会有 $n\ast p\ast m$ 次乘法运算。
• 得出 $[m,n]\ast [n,p]$ 共会有 $n\ast p\ast m$ 次乘法运算，运算后得到的矩阵为 $[m,p]$

因此，我们可以利用栈来进行判断和运算，遍历字符串，

• 当字符为左括号时，跳过；
• 当字符为字母时，转化为对应的矩阵大小加入栈内；
• 当字符为右括号时，取出栈顶的两个矩阵进行运算，并将运算后得到的矩阵大小压入栈中。

可知字符串的长度为 n + 2 * ( n - 1)，n 为矩阵个数。

• 时间复杂度：O(N)，遍历所有矩阵或规定计算顺序的字符串的代价，其中N为矩阵的数量
• 空间复杂度：O(N)，存储矩阵数据的空间大小，和其他一些等代价的空间申请的大小

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    while(cin >> n){
        vector<vector<int>> m(n, vector<int>(2, 0));  // m[i][0] 表示行
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            cin >> m[i][0] >> m[i][1];
        }
        stack<vector<int>> st;
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < 3*n-2; ++i){		// 字符串的长度为 n + 2*(n-1)
            char ch;
            cin >> ch;
            if(ch == '('){					// 左括号不处理
                continue;
            }else if(ch == ')'){			// 右括号，对头两个矩阵进行操作
                vector<int> a(2, 0);
                vector<int> b(2, 0);
                b = st.top();				// a * b
                st.pop();
                a = st.top();
                st.pop();
                ans += a[0] * a[1] * b[1];	// 计算次数为 a行 * a列 * b列
                st.emplace(vector<int>{a[0], b[1]});	// 将计算后的新矩阵大小压入栈内
            }else{
                st.emplace(m[ch-'A']);		// 字母，使对应的矩阵大小入栈
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}
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