曹则贤开讲“从一元二次方程到规范场论” 中国科学院2022跨年科学演讲第三场全程回顾
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
)
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
−
b
2
4
a
2
)
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
+
4
a
c
4
a
移项，得
a
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
a(x+2ab)2=4ab2−4ac(x+2ab)2=4a2b2−4acx+2ab=2a±b2−4acx=2a−b±b2−4ac
假设其两根为
x
1
x_1
x1、
x
2
x_2
x2，则有
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x1=2a−b+b2−4acx2=2a−b−b2−4ac
x
1
+
x
2
x_1+x_2
x1+x2与
x
1
x
2
x_1x_2
x1x2的结果为
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
+
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
a
x
1
x
2
=
(
−
b
)
2
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
4
a
2
=
c
a
x_1 + x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}
x1+x2=2a−b+b2−4ac+2a−b−b2−4ac=−abx1x2=4a2(−b)2−(b2−4ac)2=ac
a
x
2
+
b
x
+
c
处
理
为
下
列
式
子
，
方
便
之
后
好
用
x
1
,
x
2
替
代
=
a
(
x
2
+
b
a
x
+
c
a
)
将
式
中
的
b
a
、
c
a
用
x
1
、
x
2
表
示
=
a
(
x
2
−
(
x
1
+
x
2
)
x
+
x
1
x
2
)
=
a
[
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
]
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
处
理
为
下
列
式
子
，
方
便
之
后
好
用
x
1
,
x
2
替
代
=
−
1
2
b
a
±
1
4
(
b
a
)
2
−
c
a
将
式
中
的
b
a
、
c
a
用
x
1
、
x
2
表
示
=
1
2
(
x
1
+
x
2
)
±
1
4
(
x
1
+
x
2
)
2
−
x
1
x
2
( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) ( a − b ) 3 = a 3 − b 3 − 3 a b ( a − b ) (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)
求解一元三次方程
x
3
+
p
x
+
q
x^3+px+q
x3+px+q，方法：约化，把一元三次方程约化成一元二次方程
令
x
=
u
1
3
+
v
1
3
x
3
+
p
x
+
q
=
u
+
v
+
3
u
1
3
v
1
3
(
u
1
3
+
v
1
3
)
+
p
(
u
1
3
+
v
1
3
)
+
q
=
(
u
+
v
+
q
)
+
(
3
u
1
3
v
1
3
+
p
)
(
u
1
3
+
v
1
3
)
=
(
u
+
v
+
q
)
+
(
3
u
1
3
v
1
3
+
p
)
(
x
)
因
此
有
u
+
v
+
q
=
0
3
u
1
3
v
1
3
+
p
=
0
→
u
1
3
v
1
3
=
−
p
3
→
u
v
=
−
(
p
3
)
3
→
v
=
−
(
p
3
)
3
1
u
代
入
上
式
u
+
−
(
p
3
)
3
1
u
+
q
=
0
→
u
2
+
q
u
−
(
p
3
)
3
=
0
(
一
元
三
次
方
程
→
一
元
二
次
方
程
)
u
=
−
q
±
q
2
+
4
(
p
3
)
3
2
=
−
q
2
±
q
2
4
+
(
p
3
)
3
v
=
−
q
−
u
=
−
q
∓
q
2
+
4
(
p
3
)
3
2
=
−
q
2
∓
q
2
4
+
(
p
3
)
3
x
=
(
−
q
2
±
q
2
4
+
(
p
3
)
3
)
1
3
+
(
−
q
2
∓
q
2
4
+
(
p
3
)
3
)
1
3
一个方程若有个多个根，但根未知，则这些根之间都是等价的
比如，一个方程里面有一个根，一个是4，一个是3，许多人很容易误解4大于3，但是就这个方程本身来说，如果3、4都是这个方程的根，是一样的，是等价
代数方程的一般形式： ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n ) = 0 (x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0 (x−x1)(x−x2)…(x−xn)=0，从该角度来理解到底有多少根的时候，这个方程是有解的
有一个长度为
a
a
a的线段，根据一点，将其分为两段，使得
x
(
a
−
x
)
=
a
2
2
x(a-x)=\frac{a^2}{2}
x(a−x)=2a2成立，求
x
x
x的值，也就是点在线段上的位置
x
(
a
−
x
)
=
a
2
2
x
2
−
a
x
+
a
2
2
=
0
x
1
,
2
=
a
2
+
(
±
a
2
−
2
a
2
2
)
=
a
2
+
(
±
a
i
2
)
x
x
x的解当中存在虚数，说明题中要求的将线段分成两截的点不在线段上
法国人比埃(Adrien-Quentin Buée, 1748-1826)认为，这个方程根意味着分割点 x x x是在线段的上方或者下方——那个 i i i 指向垂直方向
复数是一个从一维空间向二维空间扩展的概念
小女孩可能对方向的概念不是那么理解，她妈妈问她：“你现在是在我的左边还是右边？”，小女孩想了想，答道：“旁边”
复数能够表示我们二维平面里面的转动
比如：在一个坐标轴上， 3 ± 1 = ( 2 , 4 ) 3\pm1=(2,4) 3±1=(2,4)在一条直线上，而 a ± i b a±ib a±ib 变成平面的扩展
但有人说，我们生活的空间不是二维而是三维的，所以，是否有一个数，使得能够在二维空间描述的物理同样适应于三维空间？
所以有人想，是否可以把
a
±
i
b
a±ib
a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数？
从 2 D → 3 D 2D\to3D 2D→3D： z = a + b i → z = a + b i + c j z=a+bi \to z=a+bi+cj z=a+bi→z=a+bi+cj，其中 i 2 = − 1 , j 2 = − 1 i^2=-1, j^2=-1 i2=−1,j2=−1
两个相同三元数(三个未知数)的乘积如下
(
a
+
b
i
+
c
j
)
(
a
+
b
i
+
c
j
)
=
(
a
2
−
b
2
−
c
2
)
+
(
2
a
b
)
i
+
(
2
a
c
)
j
+
b
c
(
i
j
+
j
i
)
(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+(2ab)i+(2ac)j+bc(ij+ji)
(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a2−b2−c2)+(2ab)i+(2ac)j+bc(ij+ji)
上式多出来了一项， 𝑏 𝑐 ( 𝑖 𝑗 + 𝑗 𝑖 ) 𝑏𝑐 (𝑖𝑗 + 𝑗𝑖) bc(ij+ji)，如果令 i j = 0 或 i j = − j i ij=0或ij=-ji ij=0或ij=−ji ，可变为三项
数学中的项：基本算术单元，如： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a\not=0) ax2+bx+c=0(a=0) 中， a x 2 ax^2 ax2叫作二次项， a a a是二次项系数； b x bx bx叫作一次项， b b b是一次项系数； c c c叫作常数项
但是，两个任意三元数的乘积，两个任意三元数模平方的乘积，结果都是四项
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
=
(
a
x
−
b
y
−
c
z
)
2
+
(
a
y
+
b
x
)
2
+
(
a
z
+
c
x
)
2
+
(
b
z
−
c
y
)
2
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2+(bz-cy)^2
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax−by−cz)2+(ay+bx)2+(az+cx)2+(bz−cy)2
哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现，说既然两个三元数乘积永远等于四项，那从一开始就是四项不就完了吗？
于是令： q = a + b i + c j + d k q=a+bi+cj+dk q=a+bi+cj+dk，其中 i j = k , i k = j , j k = i , i j = − j i , i k = − k i , j k = − k j , i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 ij=k,ik=j,jk=i,ij=-ji,ik=-ki,jk=-kj,i^2=j^2=k^2=ijk=-1 ij=k,ik=j,jk=i,ij=−ji,ik=−ki,jk=−kj,i2=j2=k2=ijk=−1
四元数的乘积之后，结果太长，需对其简化，于是提出了一个新的概念
q
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
=
r
+
v
q=a+bi+cj+dk=r+v
q=a+bi+cj+dk=r+v，
r
r
r 为标量，
v
=
b
i
+
c
j
+
d
k
v=bi+cj+dk
v=bi+cj+dk 为矢量
(
r
1
,
v
1
)
+
(
r
2
,
v
2
)
=
(
r
1
+
r
2
,
v
1
+
v
2
)
(
r
1
,
v
1
)
(
r
2
,
v
2
)
=
(
r
1
r
2
−
v
1
v
2
,
r
1
v
2
+
r
2
v
1
+
v
1
v
2
)
矢
量
点
乘
矢
量
叉
乘
(
0
,
v
1
)
(
0
,
v
2
)
=
(
−
v
1
v
2
,
v
1
v
2
)
矢量可以有长度、有方向，但是，长度和方向不一定是必须的，也可以没有