如何通俗理解海涅定理

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同学们大家好，今天我们来学习海涅定理。

定理（海涅定理）. 对函数 定义域内的任意，且满足 ， 的数列 ，有：

1 简述

我们知道，极限分为函数极限与数列极限

那么函数极限可以转换为数列极限吗？数列极限可以转换为函数极限吗？

 在一定条件下是可以的，海涅定理干的就是这个事。首先来看函数极限转换为数列极限的情况。

2 函数极限转换为数列极限

假设函数在 处的极限为

下面在函数定义域内取一数列,令这个数列的极限为

由此数列的函数值组成一个新的数列,这个数列的极限就是

为了看得更清楚一点，我们再建立一个坐标系,左边这个坐标系观察函数极限，横坐标是 ,纵坐标是 ,右边这个坐标系观察数列极限，横坐标是 ,纵坐标是 ,这里的 就是靠近 的那个数列

这个数列从左到右排列，可以看到，当 不断增大时， 不断靠近靠近一个值,这个值就是 的极限值

也就是说，若函数在 处的极限为 ,且 是极限为 的数列，则数列 的极限也为

这样我们就从函数极限推出了数列极限

3 数列极限转换为函数极限

还是把目光锁定在有函数曲线这幅图上,这个时候我们只有函数图像，而并不知道其在 处的极限

在定义域内取一数列，使其极限为 ,并求出其函数值,可以看到这个数列的极限是

再在定义域内取一极限为 的数列,可以看到，由它的函数值构成的数列的极限还是

若在定义域内，任取一个极限为 的数列,它的函数值极限都是 的话,那么函数在 处的极限就为

为了将数列极限看得更清楚，这里还是建立一个 的坐标系

先看蓝色这个数列,这个数列前面讲过了，是从左到右排列的。这里可以很明显的看出，此数列极限为 。

然后看红色数列,红色数列是从右到左排列的。可以看到，当 趋于无穷时， 的极限也为

最后来看黄色这个数列，这个数列是交错排列的,可以看到,当 趋于无穷时,数列 的极限还是

也就是说，若任意一个数列 ，它的极限都为 。那么函数在 处的极限就为 。

4 总结

综合前面两节的内容，我们就完成了函数极限与数列极限的互相转换，这就是海涅定理的内容

需要说明的是，海涅定理证明的是一个充要条件。也就是说，如果左边极限不存在，那么右边极限也不存在。反过来，如果右边极限不存在，左边极限也不存在。在实际应用中，我们经常利用这一点。下面来看一道例题。

5 例题

求

5.1 思路

如果我们有做图软件，可以看到函数图像长这样， 就是白点那个位置。下面我们利用海涅定理，将这个函数极限问题转换为数列极限问题来解决

因为要求的极限的位置是0，所以我们首先在定义域内找出极限为0的数列，并求出其函数值

接着，我们再在定义域内找出一个极限为0的数列,并求出其函数值

可以很明显地看到，黄色数列和红色数列的极限不一致，因此函数在0点的极限不存在

最后，我们写出证明过程

5.2 证明

(1)

(2)

(3)由于 均为极限为0的数列，且

由海涅定理可得

 

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