2-3-4 树介绍

2-3-4树是四阶的B树(Balance Tree)，他属于一种多路查找树，它的结构有以下限制:

• 所有叶子节点都拥有相同的深度。
• 节点只能是2-节点、3-节点、4-节点之一。
  • 2-节点: 包含1个元素的节点，有2个子节点;
  • 3-节点:包含2个元素的节点，有3个子节点;
  • 4-节点:包含3个元素的节点，有4个子节点;
• 所有节点必须至少包含1个元素
• 元素始终保持排序顺序，整体上保持二叉查找树的性质，即父结点大于左子结点，小于右子结点;
• 结点有多个元素时，每个元素必须大于它左边的和它的左子树中元素。

下图是一个典型的2-3-4树

2-3-4树的查询操作像普通的二叉搜索树一样，非常简单，但由于其结点元素数不确定，在一些编程语言中实现起来并不方便，实现一般使用它的等同——红黑树。

2-3-4 树生成过程

红黑树相关概念

红黑树，Red-Black Tree 「RBT」是一个自平衡(不是绝对的平衡)的二叉查找树(BST)

树上的每个节点都遵循下面的规则:

1. 每个节点要么是黑色，要么是红色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点(NIL)是黑色。
4. 每个红色结点的两个子结点一定都是黑色。
5. 任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。

一颗有n个节点的红黑树高度最多是2*log(n+1)

红黑树能自平衡，它靠的是三种操作：左旋、右旋和变色

红黑树左旋右旋

左旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

右旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

从枢轴位置上看:

• 左旋：左子树高度+1,右子树高度-1
• 右旋：右子树高度+1,左子树高度-1

旋转前是BST，旋转后也是BST

红黑树、2-3-4 树插入情况分析

2-3-4树中结点添加需要遵守以下规则:

• 插入都是向最下面一层插入
• 升元:将插入结点由2-结点升级成3-结点，或由3-结点升级成4-结点;
• 向4-结点插入元素后，需要将中间元素提到父结点升元，原结点变成两个2-结点，再把元素插入2-结点中，如果父结点也是4-结点，则递归向上层升元，至到根结点后将树高加1;

而将这些规则对应到红黑树里，就是:

• 新插入的结点颜色为红色，这样才可能不会对红黑树的高度产生影响。
• 2-结点对应红黑树中的单个黑色结点，插入时直接成功(对应2-结点升元)。
• 3-结点对应红黑树中的黑+红子树，插入后将其修复成红+黑+红子树(对应3-结点升元);
• 4-结点对应红黑树中的红+黑+红子树，插入后将其修复成红色祖父+黑色父叔+红色孩子子树，然后再把祖父结点当成新插入的红色结点递归向上层修复，直至修复成功或遇到root结点;

公式：红黑树 + 新增—个节点(红色）= 对等的2-3-4树 + 新增一个节点

红黑树 删除节点

红黑树的删除可以看作一个平衡二叉树的删除，删除完后再进行红黑树的调整：

二叉树删除操作的情况:

1. 删除叶子节点，直接删除
2. 删除的节点有一个子节点，那么用子节点来替代
3. 如果删除的节点右两个子节点，此时需要找到前驱节点或者后继节点来替代，可以转换为1、2的情况

删除节点方案:

1. 找到前驱节点，复制前驱节点值覆盖预备删除的节点的值，然后删除前驱节点
2. 找到后继节点，复制后继节点值覆盖预备删除的节点的值，然后删除后继节点

被删除的前驱或者后继节点只有两种情况

1. 被删除的节点是叶子节点
2. 被删除的节点有一个孩子节点

红黑树删除肯定是删除倒数第一层和倒数第二层就这两层
红黑树删除操作一定是2-3-4树的叶子节点

3节点删除是合法的
4节点删除也是合法的

2-3-4树删除操作:

1. 情况一:自己能搞定的，对应叶子节点是3节点和4节点
2. 情况二:自己搞不定，需要兄弟借，但是兄弟不借，找父亲借，父亲下来，然后兄弟找—个人去代替父亲当家
3. 情况三:跟兄弟借，兄弟也没有

情况三：跟兄弟借，兄弟也没有（情同手足，同时自损）

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