哈喽~大家好呀,上篇呢我们将了排序算法(一),后台有小伙伴私信说,追呀,啥时候更新下一篇呀?这不今天它来了,(
它来了,它来了,它穿着大裤衩走来了),那么这篇呢我们来看最有趣的算法(二)。
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深度优先搜索(DFS)又叫深搜,我们可以这么理解,DFS 像一个很固执的一个人(不撞南墙不回头,不见黄河不死心),只要你这里有路我就一定会去走,而且一条路走到底的那种(燕子~没你我怎么活呀,开玩笑了)。
我们先来看看效果图。(对了,上次有小伙伴问,你这效果图是怎么实现的呀,我是在这个网站上绘制效果图的)
看完效果图后感觉是不是挺通俗易懂的?好,我们来看看 DFS 的模板。
- dfs(int u)
- {
- if(找到了||走不下去了)
- {
- return;
-
- }
- 开始下一个情况(dfs(u+1));
-
- }
我们来看看一个经典的问题——n皇后问题。我们先来看看题目。
给定一个n*n的棋盘,棋盘中有一些位置不能放皇后。
现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后,使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上
任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。
我们来看看代码
- #include <iostream>
- #include <bits/stdc++.h>
-
- using namespace std;
-
- typedef long long ll;
-
- const int N = 20;
-
- int n;
- char g[N][N];
- int l[N],ug[N],ng[N];
-
- void dfs(int u)
- {
- if(u == n)
- {
- for(int i = 0; i < n; i ++)
- {
- cout << g[i] << endl;
- }
- cout << endl;
- return ;
- }
- for(int i = 0; i < n; i ++)
- {
- if(!l[i] && !ug[i + u] && !ng[i - u + n])
- {
- g[u][i] = 'Q';
- l[i] = ug[i + u] = ng[i - u + n] = 1;
- dfs(u + 1);
- l[i] = ug[i + u] = ng[i - u + n] = 0;
- g[u][i] = '.';
- }
- }
-
- }
- int main()
- {
- cin >> n;
-
- for(int i = 0; i < n; i ++)
- {
- for(int j = 0; j < n; j ++)
- {
- g[i][j] = '.';
- }
- }
-
- dfs(0);
-
- return 0;
- }
-
广度优先搜索(BFS)又叫广搜,它像一个有远见的人,它是一层一层来实现搜索的,也挺像下楼梯的。
思路:
1.先初始化队列 q;
2.从起点开始访问,并且改变他的状态为已经访问;
3.如果他的队列非空,取出首个元素,将它弹出!
4.如果u == 目标状态,然后对所以与 u 邻近的点进入队列;
5.标记它已经被访问!
我们先来看看效果图
我们来看看模板
- queue<int> q;
- st[0] = true; // 表示1号点已经被遍历过
- q.push(0);
-
- while (q.size())
- {
- int t = q.front();
- q.pop();
-
- for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
- {
- int j = e[i];
- if (!s[j])
- {
- st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
- q.push(j);
- }
- }
- }
来看看代码
- #include <iostream>
- #include <bits/stdc++.h>
- #define x first
- #define y second
-
- using namespace std;
-
- const int N = 1000 + 10;
-
- int n;
- typedef pair<int,int> PII;
- PII q[N * N];
- bool st[N][N];
- char g[N][N];
-
- int dx[4] = {-1, 0, 1, 0},dy[4] = {0, 1, 0, -1};
-
- void bfs(int sx, int sy, int &tl, int &bd)
- {
-
- int tt = 0,hh = 0;
-
- st[sx][sy] = true;
- q[0] = {sx, sy};
-
- while(hh <= tt)
- {
- PII t = q[hh ++];
- tl ++;
- bool is_bd = false;
-
- for(int i = 0; i < 4; i ++)
- {
- int x = t.x + dx[i],y = t.y + dy[i];
- if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || st[x][y]) continue;
- if(g[x][y] == '.')
- {
- is_bd = true;
- continue;
- }
-
- st[x][y] = true;
- q[++ tt] = {x, y};
- }
-
- if(is_bd) bd++;
- }
-
- }
-
- int main(){
-
- cin >> n;
-
- for(int i = 0;i < n;i++) cin >> g[i];
-
- int cnt = 0;
-
- for(int i = 0;i < n;i++)
- for(int j = 0;j < n;j++)
- {
- if(!st[i][j] && g[i][j] == '#')
- {
- int tl = 0,bd = 0;
-
- bfs(i, j, tl, bd);
-
- if(tl == bd) cnt ++;
- }
- }
-
- cout << cnt << endl;
- return 0;
- }
看到这里感觉这么样?对 dfs 与 bfs 有了更新的认识吗?我们接下来再来看看两大算法。
扩展:什么是最小生成树?
给定一个无向图,如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树,那么这棵树就叫生成树。如果边上有权值,那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树(MST,Minimum Spanning Tree)。
那么下面我们要讲的两大算法就是与最小生成树有关的。
prim 算法也像一个有远见的人,他选择一个节点(假设这个节点上有 n 条边),直接来找这 n 条边上最小的边,然后选择这条最小的边选完之后剩下(n - 1)。再选择连接的最小的边的节点(假设这个节点上有 m 条边)(在 m + n - 1 条边是哪个选择)。选完之后剩下(m + n - 2),依次类推。我们来看看效果图。
算法模板
- int prim()
- {
- memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
- int res = 0;
- dist[1] = 0;
- for(int i = 0; i < n; i ++)
- {
- int t = -1;
- for(int j = 1; j <= n; j ++)
- if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
- t = j;
- st[t] = true;
- res += dist[t];
- for(int j = 1; j <= n; j ++)
- if(dist[j] > g[t][j] && !st[i])
- {
- dist[j] = g[t][j];
- pre[j] = t;
- }
- }
- return res;
- }
给定一个n个点m条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E),其中V表示图中点的集合,E表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
这里我们看到上面的效果图,我们可以构成一组数据,如果这组数据没有输出 impossible,那么它存在最小生成树。
- 9 16
- 0 1 8
- 0 2 12
- 1 4 9
- 1 3 25
- 1 2 13
- 2 6 21
- 2 3 14
- 2 6 12
- 3 5 8
- 3 7 12
- 3 8 16
- 4 5 19
- 4 3 20
- 5 7 11
- 7 8 6
- 6 8 11
Kruskal算法它很像一个比较莽撞的人,它直接选择最短的边,只要它满足最小生成树的条件,那么这条边就可行。 我们先来看看效果图。
思路:
①将所有边按权重从小到大排序
②枚举每条边 a,b,权重是c
if a,b不连通
将这条边加入集合
同样是上面的题目与数据
给定一个n个点m条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E),其中V表示图中点的集合,E表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
我们来看看代码是如何实现的。
- #include<bits/stdc++.h>
-
- using namespace std;
-
- const int N = 2e5+5;
- int n,m;
-
- struct Edge
- {
- int u, v, w;
- bool operator<(const Edge &a) const
- {
- return w<a.w;
- }
- }edge[N];
-
- int p[N];
- int find(int x)
- {
- return p[x] == x ? x : p[x] = find(p[x]);
- }
-
-
- int main()
- {
- int n, m;
- scanf("%d%d",&n, &m);
- for(int i=0;i<m;i++)
- {
- int u, v, w;
- scanf("%d%d%d",&u, &v, &w);
- edge[i] = {u,v,w};
- }
- sort(edge, edge + m);
-
- for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
-
- int cnt = 0, sum = 0;
-
- for(int i = 0; i < m; i ++)
- {
- int a = edge[i].u, b=edge[i].v, w = edge[i].w;
- a = find(a);
- b = find(b);
- if(a != b)
- {
- cnt ++;
- sum += w;
- p[a] = b;
- }
- }
- if(cnt < n - 1) puts("impossible");
- else printf("%d", sum);
- }
用同样的数据,不同的算法得到相同的结果,没毛病。
我们来看看时间复杂度的分析
BFS的复杂度分析
最坏的情况下,空间复杂度为O(v)。每个顶点均需搜索一次,时间复杂度T1=O(v),每条边至少访问1次,时间复杂度为O(E),算法总的时间复 度为O(|V|+|E|)。
查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V),即该节点所在的该行该列。又有n个顶点,故算总的时间复杂度为O(|V|^2)。
DFS复杂度分析
它的空问复杂度为O(V)。查找所有顶点的邻接点所需时间为O(E),访问顶点的邻接点所花时间为O(V),此时,总的时间复杂度为O(V+E)。
查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V),要查找整个矩阵,故总的时间度为O(V^2)。
注意: v为图的顶点数,E为边数。
快期末了,接下来的时间会比较紧,更新频率可能会比以前低了,见谅解🤝。
(求关注)持续更新中……
