统计学习：逻辑回归与交叉熵损失（Pytorch实现）

1. Logistic 分布和对率回归

监督学习的模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布P(Y|X)P(Y|X)或决 策函数(decision function)Y=f(X)Y=f(X)表示，随具体学习方法而定。对具体的输入xx进行相应的输出预测并得到某个结果时，写作P(y|x)P(y|x)或y=f(x)y=f(x)。

我们这里的 Logistic 分类模型是概率模型，模型P(Y|X)P(Y|X)表示给定随机向量XX下，分类标签YY的条件概率分布。这里我们只讨论二分类问题。后面我们介绍多层感知机的时候会介绍多分类问题。道理是一样的。

先介绍 Logistic 分布。

Logistic 的分布函数为：

F(x)=P(X<=x)=11+e−(x−u)/γ

F(x)=P(X<=x)=11+e−(x−u)/γ

该分布函数的图像为：

该函数以点(u,1/2)(u,1/2)中心对称，在中心附近增长速度较快，在两端增长速度较慢。

我们后面对于未归一化的数zz，采用sigmoidsigmoid函数

σ(z)=11+exp(−z)

σ(z)=11+exp(−z)

将其“压”在(0, 1)之间。这样就可以使zz归一化，一般我们使归一化后的值表示置信度(belief)，可以理解成概率，但是与概率有着细微的差别，更体现 “属于××类的把握”的意思。

对于二分类，标签Y=0Y=0或Y=1Y=1，我们将P(Y=0|x)P(Y=0|x)和P(Y=1|x)P(Y=1|x)表示如下，也就定义了二项逻辑回归模型：

P(Y=1|x)=σ(wTx+b)=11+exp(−(wTx+b)) (1)P(Y=0|x)=1−σ(wTx+b)=11+exp(wTx+b)(2)

P(Y=1|x)=σ(wTx+b)=11+exp(−(wTx+b)) (1)P(Y=0|x)=1−σ(wTx+b)=11+exp(wTx+b)(2)

现在考察 Logistic 回归模型的特点，一个事件的几率(odds)是指该事件发生的概率与不发生的概率的比值。如果事件发生的概率是pp，那么该事件的几率是p/(1−p)p/(1−p)，该事件的对数几率(log odds，简称对率)或 logit 函数是

logit(p)=log p/(1−p)

logit(p)=log p/(1−p)

对 Logistic 回归而言，由式子(1)(1)和式子(2)(2)得到:

logP(Y=1|x)1−P(Y=1|x)=wTx+b

logP(Y=1|x)1−P(Y=1|x)=wTx+b

这玩意在统计学里面称之为“对率回归”，其实就是“Logistic regression 名称”的由来。这里的 Logistic 和“逻辑”没有任何关系，和对率才是有关系的。 可以看出，输出Y=1Y=1的对数几率是由输入xx的线性函数表示的模型，即 Logistic 回归模型。

2. Logistic 回归模型的参数估计

我们在《统计推断：极大似然估计、贝叶斯估计与方差偏差分解》)中说过，从概率模型的视角来看，机器模型学习的过程就是概率分布参数估计的过程，这里就是估计条件概率分布P(Y|X)P(Y|X)的参数θθ。对于给定的训练数据集T={{x1,y1},{x2,y2},…,{xN,yN}}T={{x1,y1},{x2,y2},…,{xN,yN}}，其中，xi∈Rn，yi∈{0,1}，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到Logistic回归模型。

我们设P(Y=1|x)=π(x)，P(Y=0|x)=1−π(x)，很显然P(Y|x)服从一个伯努利分 布，不过这个伯努利分布很复杂，它的参数p是一个函数π(x)。我们这里采用一个抽象的观念，将函数π(x)看做一个整体，这样P(Y|x)服从二项分布，可以方便我们理解。我们的参数θ=(w,b)，不过我们还是采用之前的技巧，将权值向量和输入向量加以扩充，直接记做θ=w。

这样，对于N个样本，定义似然函数：

L(w|x1,x2,...,xN)=ΠNi=1[π(xi)]yi[1−π(xi)]1−yi

因为函数比较复杂，我们采用数值优化进行求解。然而这个函数是非凸的， 如果直接用数值迭代算法作用于次函数，可能陷入局部最优解不能保证到收敛到全局最优解。我们为了将其变为负对数似然函数（想一想为什么要取负号），也就是一个凸函数，方便用梯度下降法、牛顿法进行求解：

−L(w|x1,x2,...,xN)=−N∑i=1[yilog π(xi)+(1−yi)log(1−π(xi))]

配凑 1/N转换为关于数据经验分布期望的无偏估计 ，即Ex∼ˆpdatalog pmodel(xi|θ)而不改变目标函数的优化方向。

−1NN∑i=1[yilog π(xi)+(1−yi)log(1−π(xi))]

上面这个式子，就是我们在深度学习里面常用的交叉熵损失函数(cross entropy loss function)的特殊情况。（交叉熵损失函数一般是多分类，这里是二分类）。后面我们会学习，在深度学习领域中，我们用f(⋅)表示神经网络对输入x加以的 映射（这里没有激活函数，是线性的映射），f(x)就是输出的条件概率分布P(Y|X=x)。 设类别总数为K，xi为第i个样本的特征向量(特征维度为D)，f(xi)输出维度也为K。f(xi)k表示P(yk|xi)。因为是多分类，P(yk|xi)的计算方法就不能通过sigmoid函数来得到了，取而代之是更通用的softmax函数。我们给定输入样本x，设zk=∑Dj=1wzjxj，其中W∈RK×D神经网络的权重矩阵D为特征向量维度，K为类别总数。则我们有：

f(x)k=softmax(z)k=exp(zk)∑kexp(zk)

我们规定第i个样本的标签yi为K维one-hot向量。则交叉熵函数表述如下：

−1NN∑i=1K∑k=1yiklogf(xi)k

因为yi为 one-hot 向量，只有一个维度为 1，设这个维度为c（即表示类别c），则交叉熵函数可以化简为：

−1NN∑i=1logf(xi)c

很明显，如果f(xi)c越大，表示神经网络预测xi样本类别为第c类的概率越大，这也是目标函数优化的方向——即对于类别为c的样本xi，优化器尽量使样本xi被预测为第c类的概率更大。

如下为使用梯度下降法求解二分类逻辑回归问题（并采用breast_cancer数据集进行测试，该数据集是二分类数据集）：

from locale import normalize
import numpy as np
import random
import torch
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# y_pred大小为(batch_size, 1)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -(torch.mul(y, torch.log(y_pred)) + torch.mul(1-y, torch.log(1-y_pred))).sum()/y.shape[0]

# 前向函数
def logistic_f(X, w): 
    z = torch.matmul(X, w).reshape(-1, 1) 
    return 1/(torch.exp(-z) + 1)

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, w)
        #print(y_pred)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        #print(loss_v)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            w -= eta*w.grad
        w.grad.zero_()  
    w_star = w.detach()
    return w_star 

# 迭代次数
n_iter = 600

# 学习率
eta = 10 # 因为我们前面loss除了样本总数，这里调大些

if __name__ == '__main__':

    X, y = load_breast_cancer(return_X_y=True)

    D = X.shape[1]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=0)
    n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]

    # 初始化权重（含偏置）
    w = torch.tensor(2 * np.random.ranf(size=D + 1) - 1, requires_grad=True)
    print(w)
    
    # 扩充1维
    X_train = torch.tensor(np.concatenate([X_train, np.ones([X_train.shape[0], 1])], axis=1))
    X_train = torch.nn.functional.normalize(X_train) # 先归一化，否则后面sigmoid部分输出无穷趋近于0，导致log()得-inf
    X_test = torch.tensor(np.concatenate([X_test, np.ones([X_test.shape[0], 1])], axis=1))
    X_test = torch.nn.functional.normalize(X_test) # 先归一化，否则后面sigmoid部分输出无穷趋近于0，导致log()得-inf

 
    y_train, y_test = torch.tensor(y_train), torch.tensor(y_test)

    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法减少时间复杂度
    w_star = gradient_descent(X_train, w, y_train, n_iter, eta, cross_entropy, logistic_f)
    print(w_star)
    
    y_pred = logistic_f(X_test, w_star)
    pred_label = torch.where(y_pred < 0.5, 0, 1)
    acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
    print("accuracy: %f" % (acc))

注意输入数据要先归一化到(0, 1)，否则后面|Xw+b|过大，以致Xw+b<0时使sigmoid函数的输出无穷趋近于0，最终导致log函数得-inf。我们来看一下算法的输出结果。初始权重向量、最终得到的权重向量和模型精度如下：

Initial w: tensor([-0.3109, -0.4637, -0.0326,  0.0081, -0.0108, -0.9996, -0.2989,  0.2311,
        -0.9197,  0.7227,  0.2692,  0.4146,  0.6281, -0.8207,  0.3153,  0.9207,
        -0.4418,  0.6558, -0.1684,  0.9044, -0.7847, -0.1003, -0.2369, -0.0608,
        -0.3722,  0.3982, -0.7417, -0.8493,  0.0326,  0.1718, -0.3145],
       dtype=torch.float64, requires_grad=True)
Final w: tensor([  3.0186,   5.7167,  19.8512,  18.5805,   0.0232,  -1.0004,  -0.3366,
          0.2130,  -0.8558,   0.7494,   0.2977,   0.9121,   0.7568,  -6.9429,
          0.3183,   0.9233,  -0.4391,   0.6570,  -0.1606,   0.9056,   2.5354,
          7.5881,  19.1409, -19.0107,  -0.3286,   0.3691,  -0.8191,  -0.8705,
          0.1200,   0.1985,   0.1274], dtype=torch.float64)
Final acc: 0.918129

可见模型收敛正常。

如下是多分类逻辑回归问题，我们需要将sigmoid函数修改为softmax函数，损失函数修改为更为通用的交叉熵函数，根据输出维度变化将权重向量修改为权重矩阵等。我们采用iris数据集进行测试，该数据集是一个3分类数据集。

from locale import normalize
import numpy as np
import random
import torch
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# n_feature为特征向量维度
# n_class为类别个数
# y_pred大小为(batch_size, n_class)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
    # 这里将y变为(batch_size. 1)形式
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -torch.log(torch.gather(y_pred, 1, y)).sum()/ y_pred.shape[0]

# 前向函数，注意，这里的sigmoid改为多分类的softmax函数
def logistic_f(X, W): 
    z = torch.matmul(X, W)
    return torch.exp(z)/torch.exp(z).sum()

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, W)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            W -= eta*W.grad
        W.grad.zero_()  
    W_star = W.detach()
    return W_star 

# 迭代次数
n_iter = 1200

# 学习率
eta = 1 # 因为我们前面loss除了样本总数，这里也要调大些

if __name__ == '__main__':

    X, y = load_iris(return_X_y=True)

    n_classes = y.max() - y.min() # 分类类别总数
    D = X.shape[1]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=0)
    n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]

    # 初始化权重（含偏置）
    W = torch.tensor(2 * np.random.ranf(size=(D + 1, n_classes)), requires_grad=True)
    print("Initial W: %s" % W)
    
    # 扩充1维
    X_train = torch.tensor(np.concatenate([X_train, np.ones([X_train.shape[0], 1])], axis=1))
    X_train = torch.nn.functional.normalize(X_train) # 先归一化，否则后面sigmoid输出无穷趋近于0，导致log()得-inf
    X_test = torch.tensor(np.concatenate([X_test, np.ones([X_test.shape[0], 1])], axis=1))
    X_test = torch.nn.functional.normalize(X_test) # 先归一化，否则后面sigmoid输出无穷趋近于0，导致log()得-inf

    print(y_test)
    y_train, y_test = torch.tensor(y_train), torch.tensor(y_test)

    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法减少时间复杂度
    W_star = gradient_descent(X_train, W, y_train, n_iter, eta, cross_entropy, logistic_f)
    print("Final w: %s" % W_star)
    
    y_pred = logistic_f(X_test, W_star)
    pred_label = torch.argmax(y_pred, axis=1)

    acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
    print("Final acc: %f" % (acc))

同样需要注意输入数据要先归一化到(0, 1)。我们来看一下算法的输出结果。初始权重向量、最终得到的权重向量和模型精度如下(同样，权重最后一行为偏置向量b。因为是多分类，每一个类别维度k都会对应一个偏置bk))：

Initial W: tensor([[0.2088, 0.7352, 1.3713],
        [0.6877, 0.1925, 0.7291],
        [0.4245, 1.7149, 1.8838],
        [0.5134, 1.7090, 0.8319],
        [1.8033, 1.8256, 0.1155]], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
Final w: tensor([[ 3.8652,  4.2337, -2.7884],
        [ 5.9122, -3.3024, -3.2518],
        [-7.2260,  3.5287, 10.9562],
        [-3.4692, -1.2400,  7.3598],
        [ 3.5502,  3.5274, -2.3503]], dtype=torch.float64)
Final acc: 0.933333

可见模型收敛正常。

参考

• [1] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.
• [2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.
• [3] Goodfellow I, Bengio Y, Courville A. Deep learning[M]. MIT press, 2016.
• [4] Pytorch官网： torch.nn.functional.normalize 函数
• [5] Scikit Learn 文档： Toy datasets

• 1. Logistic 分布和对率回归
• 2. Logistic 回归模型的参数估计
• 参考

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