ERQ：32位转5位仅掉些许精度，来看看两段式后训练量化 | ICML 2024

后训练量化（PTQ）在视觉Transformer（ViTs）领域引起了广泛关注，因为它在模型压缩方面表现出了高效率。然而，现有的方法通常忽视了量化权重和激活之间复杂的相互依赖关系，导致了相当大的量化误差。论文提出了一种名为ERQ的两步PTQ方法，精心设计用于顺序降低激活和权重量化带来的量化误差。ERQ首先引入了激活量化误差减小（Aqer），将激活量化误差的最小化策略性地表述为一个岭回归问题，并通过使用全精度更新权重来解决。随后，ERQ引入了权重量化误差减小（Wqer），采用迭代的方法来减轻由权重量化引起的量化误差。在每次迭代中，采用经验推导出的有效代理来细化量化权重的舍入方向，并结合岭回归求解器以减少权重量化误差。实验结果证明了该方法的有效性。值得注意的是，ERQ在W3A4 ViT-S的准确性上超越了最先进的GPTQ，提升幅度达22.36%。

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论文: ERQ: Error Reduction for Post-Training Quantization of Vision Transformers

• 论文地址：https://arxiv.org/abs/2407.06794

Introduction

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视觉Transformer（ViTs）显著挑战了卷积神经网络（CNNs），成为计算机视觉领域的新范式。ViTs利用多头自注意力（MHSA）机制来捕捉图像块之间的长距离关系，在各种视觉任务中展现出令人印象深刻的进展。

然而，强大的能力伴随着相当的复杂性。ViTs固有的架构复杂性导致了高计算需求和可观的内存要求，这在资源受限的环境中部署时带来了挑战。为了缓解这一困境，模型量化吸引了业界和学术界的持续关注。量化通过实现权重和激活的低位表示来减少模型复杂性，为高效部署提供了一条有前景的途径。最近，研究人员逐渐关注于视觉Transformer的后训练量化（PTQ），该方法旨在利用一个小型校准数据集和较低的成本对模型进行量化。

为了适应ViTs独特的结构，已经许多研究探索了各种后训练量化（PTQ）方法。例如，为了处理长尾post-Softmax激活，有研究提出了 log2/log√2 量化器和twin uniform量化器。为了管理高度变化的激活，有研究采用了重参数化技术和power-of-two因子。此外，有研究采用进化搜索方法来确定不稳定的缩放因子。然而，现有的方法通常忽视了权重和激活量化之间复杂的相互依赖关系，这在权重-激活量化时导致了相当大的量化误差。

论文提出一种为ViTs量身定制的两步后训练量化方法ERQ，旨在顺序减小由量化激活和权重引起的量化误差。如图1所示，ERQ由两个步骤组成，即激活量化误差减少（Aqer）和权重量化误差减少（Wqer）。Aqer将激活量化引起的量化误差公式化为一个岭回归问题，该问题可以通过权重更新以闭式解的方式解决。随后，引入Wqer以迭代的量化和修正方式减小由权重量化引起的量化误差。特别地，在每次迭代中，量化全精度权重的前半部分，并通过先执行四舍五入细化，后再次解决岭回归问题来减小产生的量化误差。前者推导出输出误差的有效代理，用于细化量化权重的四舍五入方向，以降低量化误差。后者则通过更新剩余的全精度权重进一步减小量化误差。这样的过程持续进行，直到所有权重被准确量化。

ERQ在对各种ViTs变体（ViT、DeiT和Swin）及任务（图像分类、目标检测和实例分割）进行的广泛实验中证明了其有效性。值得注意的是，在图像分类任务中，ERQ在W3A4 ViT-S上比GPTQ的性能提高了22.36%。

Method

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相互纠缠的 δx 和 δW 使得找到公式 4 的最优解变得具有挑战性。为使问题变得可处理，将公式 4放宽为两个顺序的子问题，通过分别最小化来自量化激活和权重的误差。如图1所示，首先进行激活量化误差减少 (Aqer)，然后进行权重量化误差减少 (Wqer)。

Activation Quantization Error Reduction

为减轻由激活量化引起的误差，引入激活量化误差减少 (Aqer)，将误差减轻问题形式化为岭回归问题。具体来说，将权重保留为全精度，仅考虑由激活量化误差 δx 引起的均方误差 (MSE)：

LMSE=E[‖Wx−W(x+δx)‖22].

为了最小化公式 5，将其形式化为岭回归问题，其中通过将权重 W 与调整项 δW∗ 相加来完成最小化：

E[‖Wx−(W+δW∗)(x+δx)‖22]+λ1‖δW∗‖22=E[‖−δW∗(x+δx)−Wδx‖22]+λ1‖δW∗‖22=E[‖δW∗ˉx+Wδx‖22]+λ1‖δW∗‖22.

这里， δW∗ 表示通过岭回归计算出的调整项， ˉx=x+δx 是量化输入， λ1‖δW∗‖22 作为正则化项， λ1 是控制正则化强度的超参数。公式6构成了岭回归问题。为了最小化它，首先计算其相对于 δW∗ 的梯度：

∂∂δW∗E[‖δW∗ˉx+Wδx‖22]+λ1‖δW∗‖22=E[2(δW∗ˉx+Wδx)ˉxT]+2λ1δW∗.

然后，通过将公式 7设置为零来求解 δW∗ ：

E[2(δW∗ˉx+Wδx)ˉxT]+2λ1δW∗=0⇒δW∗=−WE[δxˉxT](E[ˉxˉxT]+λ1I)−1.

正则化项 λ1I 确保 E[ˉxˉxT]+λ1I 的逆始终存在，这对计算稳定性至关重要。此外，它抑制了异常值，从而减轻了过拟合，提高了模型的泛化能力。抑制异常值对于随后的权重量化也至关重要，因为它限制了权重的范围。这种限制防止量化点分布在未覆盖的区域，从而增强了量化的表达能力。

在实践中，给定校准数据集，使用 1N∑NnδxnˉxTn 和 1N∑NnˉxnˉxTn 分别估计 E[δxˉxT] 和 E[ˉxˉxT] 。这里， N=B×T>>Dsin ，其中 B 是校准数据集的大小， T 是一张图像的标记数量。请注意， δx 和 ˉx 是在给定输入和量化参数的情况下确定的。在得到 δW∗ 后，通过 W=W+δW∗ 将其合并到网络的权重中。通过这样做，所提出的Aqer明确减轻了从量化激活到权重的量化误差。

Weight Quantization Error Reduction

在进行Aqer后需执行权重量化，提出权重量化误差减少（Wqer）来减轻由此产生的量化误差。在这里，目标被定义为：

LMSE=E[‖Wˉx−(W+δW)ˉx‖22]=Dout∑iLMSEi=Dout∑iE[‖Wi,:ˉx−(Wi,:+δWi,:)ˉx‖22].

注意，在进行Aqer后，激活值被量化。公式9表明输出通道之间的最小化是独立进行的。因此，分别分析每个 LMSEi 的最小化。同时对整个全精度权重进行量化会导致无法恢复的量化误差。因此，采用迭代的量化和修正方法，逐步减少由权重量化引起的量化误差。

在每次迭代中，首先对未量化权重的前半部分进行量化，然后减轻由此产生的量化误差。具体来说，从当前的全精度权重 Wi,: 和相应的 ˉx 开始。然后，将 W 划分为两个部分：前半部分 Wsi,:∈R1×Dsin 用于量化，而剩余部分 Wri,:∈R1×Drin 保持全精度。对应地，从 ˉx 中派生出 ˉxs∈RDsin 和 ˉxr∈RDrin ，其中 ˉxs 和 ˉxr 分别包含与 Wsi,: 和 Wri,: 对应的 ˉx 的行。量化后的 Wsi,: 的量化误差记为 δWsi,:=ˉWsi,:−Wsi,: ，由此产生的均方误差（MSE）为：

LMSEi=E[‖[Wsi,:,Wri,:][ˉxs,ˉxr]−[Wsi,:+δWsi,:,Wri,:][ˉxs,ˉxr]‖22]=E[‖δWsi,:ˉxs‖22].

在这里， Wi,:=[Wsi,:,Wri,:] ， ˉx=[ˉxs,ˉxr] 。为了减轻公式10，首先引入四舍五入优化（Rounding Refinement），在该过程中会细化量化权重的四舍五入方向。比如调整 δWsi,: ，以减少 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 本身。然后，在四舍五入优化之后，给定 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] ，构建一个岭回归（Ridge Regression）问题，通过调整 Wri,: 来进一步减轻该误差。

Rounding Refinement

最初，目标是调整量化权重的四舍五入方向，以最小化 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 。具体来说，对于 Wsi,: 中的第 j 个值，记作 Wsi,j ，量化过程涉及向下取整或向上取整。因此， Wsi,: 的量化误差，记作 δWsi,j ，可以表示为 δWs↓i,j 或 δWs↑i,j 。这里， δWs↓i,j=Wsi,j−Qun↓(Wsi,j,b)>0 表示采用向下取整策略所产生的误差， δWs↑i,j=Wsi,j−Qun↑(Wsi,j,b)<0 表示采用向上取整策略所产生的误差，其中 ↓/↑ 表示在公式1中将 ⌊⋅⌉ 替换为 ⌊⋅⌋ / ⌈⋅⌉ 。

选择 δWsi,: 是一个NP难题，其解可以通过混合整数二次规划（MIPQ）进行搜索。然而， E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 的高计算复杂度使得在合理时间内找到解决方案成为一项挑战。如表1所示，使用 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 作为MIPQ的目标消耗了约130小时的巨大时间成本。

• Efficient Proxy

因此，目标是找到 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 的一个高效代理。首先，将 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 重写为：

E[‖δWsi,:ˉxs‖22]Δ=(E[δWsi,:ˉxs])2+Var[δWsi,:ˉxs].

这里， Δ 表示利用 E[Z2]=(E[Z])2+Var[Z] 。

根据中心极限定理，神经网络中的大量乘法和加法运算使得激活值通常呈现出高斯分布，这也是许多以前量化领域研究的基本假设。同时，图2展示了全精度和量化激活的通道分布。可以看出，量化激活仍然表现出近似的高斯分布。

因此，论文认为 ˉxs 的通道分布仍然可以通过高斯分布进行捕捉，并用 Dsin 维的高斯分布 N(μs,Σs) 对 ˉxs 进行建模，其中 Dsin 是 ˉxs 的维度， μs∈RDsin,Σs∈RDsin×Dsin 。然后，公式11变为：

E[δWsi,:ˉxs]2+Var[δWsi,:ˉxs]=δWsi,:μsμsT(δWsi,:)T+δWi,:Σs(δWsi,:)T=δWsi,:(μsμsT+Σs)(δWsi,:)T.

这里，公式12是得到的 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 的代理。在实践中，使用给定的校准数据集来估计经验值 ˆμs 和 ˆΣs 。请注意，对于所有输出通道， ˆμs 和 ˆΣs 是共享的，只需进行一次计算。

图3展示了代理与 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 之间的关系。可以看出，所提出的代理与真实值成比例，证明了其可信度。

使用代理的计算复杂度为 O((Dsin)2) ，而 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] 的复杂度为 O(NDsin) ，其中 N>>Dsin 。因此，该代理可以作为一个低成本的目标，用于求解 δWsi,: 。如表1所示，将方程12作为MIPQ的目标将时间成本从约130小时降低到约10小时。然而，由于当前开源的MIPQ实现仅支持CPU，无法充分利用GPU的能力，这样的成本仍然是适度的。接下来将介绍Rounding Refinement，一种支持GPU的方法，利用代理的梯度更快地调整 δWsi,: 。

• Rounding Refinement

首先，使用最接近取整策略初始化 δWsi,j 。此时， δWsi,j 要么等于 δWs↓i,j ，要么等于 δWs↑i,j 。然后，目标是确定一个索引集合 S ，该集合包含需要修改的元素的索引集合，其取整方向被颠倒：

δWsi,j={δWs↓i,jifδWsi,j=δWs↑i,jδWs↑i,jotherwise.,j∈S.

为了确定 S ，首先对代理（公式12）相对于 δWsi,: 求导。

GδWsi,:=∂∂δWsi,:δWsi,:(μsμsT+Σs)(δWsi,:)T=2δWsi,:(μsμsT+Σs).

只选择梯度符号相同的元素，因为这才是允许颠倒的唯一方式。例如，当 δWsi,j=δWs↓i,j 时，仅当 GδWsi,j 与 δWsi,j 具有相同的符号时，才能将其替换为 δWs↑i,j 。因此，索引集合 S 定义为：

S=topk_index(M),M=|GδWsi,:⊙1(GδWsi,:⊙δWsi,:)|∈RDsin.

这里， topk_index 返回前 k 个元素的索引， 1(⋅) 对于非负输入返回1，对负输入返回0， |⋅| 返回输入的绝对值。

在获得 S 后，通过公式13进行颠倒。上述过程会迭代，直到调整后的 δWsi,: 引发更大的代理值或达到最大迭代次数。在获得 δWsi,: 后，量化可以通过 ˉWsi,:=Wsi,:+δWsi,: 完成。然后，将 ˉWsi,: 添加到量化权重集合中。Rounding Refinement的整体过程在算法1的第7行到第18行中给出。如表1所示，Rounding Refinement通过 150× 的成本显著减少了时间开销，从10小时减少到4分钟，同时可接受的准确性损失。

• Ridge Regression

在Rounding Refinement之后，建议用 δWr∗i,: 调整 Wri,: ，以进一步抵消 E[‖δWsi,:ˉxs‖22] ，从而得到以下目标：

E[‖δWsi,:ˉxs+δWr∗i,:ˉxr‖22]+λ2‖δWr∗i,:‖22,

其中， λ2 是一个超参数，用于控制正则化项 λ2‖δWr∗i,:‖22 的强度。公式16的最小化形成了岭回归问题，解决方案定义为：

δWr∗i,:=−δWsi,:E[ˉxsˉxrT](E[ˉxrˉxrT]+λ2I)−1.

在实践中，通过使用 1N∑NnˉxrnˉxsTn 和 1N∑NnˉxrnˉxrTn 来估计 E[ˉxrˉxsT] 和 E[ˉxrˉxrT] 。随后， Wri,:=Wri,:+δWr∗i,: 以减小误差。目前， Wri,: 仍然保持为全精度，并将在下一次迭代中处理。该过程持续进行，直到所有权重被准确量化。所提出的Rounding Refinement和Ridge Regression共同形成了Wqer，其整体过程在算法1中给出。在实践中，对多个输出通道并行执行Wqer。

Experiments

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